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Maths

Analyse

Complexes : Géométrie

Exercice

Soient $A, B, C$ trois points distincts du plan géométrique d'affixes respectives $a, b, c$. 
(a) Montrer que le triangle $(A B C)$ est équilatéral si, et seulement si, $$\frac{c-a}{b-a}=-j \quad \text { ou } \quad \frac{b-a}{c-a}=-j^{2}$$ 
(b) En déduire que le triangle $(A B C)$ est équilatéral si, et seulement si, $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a b+b c+c a .$$

Soient $a, b, c$ des réels strictement positifs. 
À quelle condition existe-t-il des complexes $t, u, v$ de somme nulle vérifiant 
$$t \bar{t}=a^{2}, u \bar{u}=b^{2} \text { et } v \bar{v}=c^{2} .$$

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
$z+\bar{z}=|z|$

Quelle est l'image du cercle unité par l'application $z \mapsto \frac{1}{1-z}$ ?

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