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Maths

Analyse

Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Exercice

Soit $p \in] 0 ; 1]$. (a) Établir que pour tout $t \geq 0$, on a $$(1+t)^{p} \leq 1+t^{p}$$ (b) En déduire que pour tout $x, y \geq 0$, $$(x+y)^{p} \leq x^{p}+y^{p}$$

Établir les inégalités suivantes : 
(a) $\forall x \in]-1 ;+\infty\left[, \frac{x}{1+x} \leq \ln (1+x) \leq x\right.$ 
(b) $\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \mathrm{e}^{x} \geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}$.

Déterminer toutes les applications $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dérivables telles que $$\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y)=f(x)+f(y)$$

Soit $f:[0 ; \pi / 2] \rightarrow \mathbb{R}$ définie par$$f(x)=\sqrt{\sin x}+x .$$ 

a) Justifier que $f$ réalise une bijection vers un intervalle à préciser. 

b) Puis, justifier que $f^{-1}$ est continue

c) et dérivable sur cet intervalle.

Calculer les dérivées des fonctions suivantes $$f_{1}(x)=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right),$$ $$f_{2}(x)=\arctan (\operatorname{sh} x)$$ $$\text { et } f_{3}(x)=\arctan \left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) .$$ Qu'en déduire?

Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes : 
(a) $x \mapsto x^{x}$ 
(b) $x \mapsto(\operatorname{ch} x)^{x}$ 
(c) $x \mapsto \ln |x|$

Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes: (a) $x \mapsto \frac{\arctan x}{x^{2}+1}$ (b) $x \mapsto \frac{1}{(x+1)^{2}}$ (c) $x \mapsto \frac{\sin x}{(\cos x+2)^{4}}$

Sur quelles parties de $\mathbb{R}$, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? (a) $f: x \mapsto \begin{cases}x \sin (1 / x) & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}$ (b) $g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin (1 / x) \\ 0\end{array}\right.$si $x \neq 0$ sinon

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes: 
(a) $x \mapsto \sqrt{x^{2}-x^{3}}$ 
(b) $x \mapsto\left(x^{2}-1\right) \arccos \left(x^{2}\right)$