Maths

Analyse

Level 4

Établir :

\forall x \in \mathbb{R},

|\arctan (\operatorname{sh} x)| = \arccos \left(\frac{1}{\operatorname{ch} x}\right)

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Maths

Analyse

Level 3

Soit

a

et

\alpha

deux réels.
Résoudre le système d'inconnues

x

et

y

\left\{\begin{array}{l}\ch x+\ch y=2 a \ch \alpha \\ \sh x+\sh y=2 a \sh \alpha \end{array}\right.

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Maths

Analyse

Level 3

Pour

n \in \mathbb{N}

et

x \in \mathbb{R}_{+}^{*}

, observer

\operatorname{th}((n+1) x)-\operatorname{th}(n x)=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch}(n x) \operatorname{ch}((n+1) x)}

Calculer

S_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\operatorname{ch}(k x) \operatorname{ch}((k+1) x)}

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Maths

Analyse

Level 2

Pour

n \in \mathbb{N}

et

x \in \mathbb{R}

, simplifier

P_{n}(x)=\prod_{k=1}^{n} \operatorname{ch}\left(\frac{x}{2^{k}}\right)

en calculant

P_{n}(x) \operatorname{sh}\left(\frac{x}{2^{n}}\right)

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

y \in]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\left[\right.

.
On pose

x=\ln \left(\tan \left(\frac{y}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)

. Montrer que
a) th

\frac{x}{2}=\tan \frac{y}{2}

,
b)

\operatorname{th} x=\sin y

c)

\operatorname{ch} x=\frac{1}{\cos y}

.

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Maths

Analyse

Level 3

Établir que pour tout

x \in \mathbb{R}_{+}

, on a

\operatorname{sh} x \geq x

et pour tout

x \in \mathbb{R}, \operatorname{ch} x \geq 1+\frac{x^{2}}{2}

.

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Maths

Analyse

Level 4

Résoudre le système

\left\{\begin{array}{r}a+b+c=0 \\ \mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}+\mathrm{e}^{c}=3\end{array}\right.

d'inconnue

(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre les systèmes suivants :
(a)

\left\{\begin{array}{l}8^{x}=10 y \\ 2^{x}=5 y\end{array}\right.

(b)

\left\{\begin{aligned} \mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{2 y} & =a \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.

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Maths

Analyse

Level 3

Résoudre les équations suivantes :
(a)

\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{1-x}=\mathrm{e}+1

(b)

x^{\sqrt{x}}=(\sqrt{x})^{x}

(c)

2^{2 x}-3^{x-1 / 2}=3^{x+1 / 2}-2^{2 x-1}

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Maths

Analyse

Level 2

Déterminer les limites suivantes :
(a)

\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{1 / x}

(b)

\lim _{x \rightarrow 0} x^{\sqrt{x}}

(c)

\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{1 / x}

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Maths

Analyse

Level 4

Comparer

\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\left(x^{x}\right)}

et

\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{x}\right)^{x}

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Maths

Analyse

Level 2

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes :

(a) \ \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b c}

(b) \ a^{b} a^{c}=a^{b c}

(c) \ a^{2 b}=\left(a^{b}\right)^{2}

(d) \ (a b)^{c}=a^{c / 2} b^{c / 2}

(e) \ \left(a^{b}\right)^{c}=a^{\left(b^{c}\right)}

(f) \ \left(a^{b}\right)^{c}=\left(a^{c}\right)^{b}

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Maths

Analyse

Level 3

Simplifier

a^{b}

pour

a=\exp x^{2}

et

b=\frac{1}{x} \ln x^{1 / x}

.

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Maths

Analyse

Level 3

Lemme de Gibbs
(a) Justifier :

\forall x>0, \ln x \leq x-1

(b) Soient

\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)

et

\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)

des

n

-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

\sum_{k=1}^{n} p_{k}=\sum_{k=1}^{n} q_{k}=1

Établir

\sum_{i=1}^{n} p_{i} \ln q_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} p_{i} \ln p_{i}

Dans quel(s) cas y a-t-il égalité?

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Maths

Analyse

Level 2

Montrer que le nombre de chiffres dans l'écriture décimale d'un entier

n>0

est

\left\lfloor\log _{10} n\right\rfloor+1

.

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Maths

Analyse

Level 4

Soit

0<a \leq b

.
On pose

f: x \mapsto \frac{\ln (1+a x)}{\ln (1+b x)}

définie sur

\mathbb{R}_{+}^{*}

.
Étudier la monotonie de

f

et en déduire que

\ln \left(1+\frac{a}{b}\right) \ln \left(1+\frac{b}{a}\right) \leq(\ln 2)^{2}

.

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Maths

Analyse

Level 3

Montrer que pour tout

a, b>0

\frac{1}{2}(\ln a+\ln b) \leq \ln \frac{a+b}{2}

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Maths

Analyse

Level 2

(a) Montrer que, pour tout

x>-1

,

\ln (1+x) \leq x

(b) En déduire que pour tout

n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

,

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \mathrm{e} \leq\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}

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Maths

Analyse

Level 2

Établir, pour tout

x \geq 0

,
l'encadrement

x-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x

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