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Maths
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Level 3
Montrer que la suite réelle (xn)\left(x_{n}\right) définie par x0∈[a;b]x_{0} \in[a ; b] et
∀n∈N,xn+1=12(f(xn)+xn)\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(f\left(x_{n}\right)+x_{n}\right)
où ff est 1 -lipschitzienne de [a;b][a ; b] dans [a;b][a ; b], converge vers un point fixe de ff.
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Level 3
Soit (xn)n∈N∗\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} une suite de réels positifs. On pose, pour tout n>0n>0 yn=x1+x2+⋯+xny_{n}=\sqrt{x_{1}+\sqrt{x_{2}+\cdots+\sqrt{x_{n}}}} (a)(a) Ici xn=ax_{n}=a pour tout nn, où a>0a>0. Étudier la convergence de (yn)\left(y_{n}\right).
(b)(b) Même question dans le cas où xn=ab2nx_{n}=a b^{2^{n}} pour tout nn, avec b>0b>0.
(c)(c) Montrer que (yn)\left(y_{n}\right) converge si, et seulement si, la suite (xn2−n)\left(x_{n}^{2^{-n}}\right) est bornée.
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Level 3
Pour α∈]0;π/2]\alpha \in] 0 ; \pi / 2], on étudie les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) définies par {u0=cos⁡αv0=1 et ∀n∈N,{un+1=(un+vn)/2vn+1=un+1vn\left\{\begin{array}{r}u_{0}=\cos \alpha \\v_{0}=1\end{array} \text { et } \forall n \in \mathbb{N},\left\{\begin{array}{c}u_{n+1}=\left(u_{n}+v_{n}\right) / 2 \\v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1} v_{n}}\end{array}\right.\right. \\ (a) Établir que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N},un=vncos⁡α2n et vn=∏k=1ncos⁡α2k. u_{n}=v_{n} \cos \frac{\alpha}{2^{n}} \text { et } v_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{\alpha}{2^{k}} \text {. } \\ (b) Étudier sin⁡α2nvn\sin \frac{\alpha}{2^{n}} v_{n} et en déduire les limites de (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right).
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Level 4
Soient ρ∈R+\rho \in \mathbb{R}_{+}et θ∈]−π;π]\left.\left.\theta \in\right]-\pi ; \pi\right].
On considère la suite complexe (zn)n∈N\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} définie par
z0=ρeiθ et ∀n∈N,zn+1=zn+∣zn∣2z_{0}=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \quad \text { et } \quad \forall n \in \mathbb{N}, z_{n+1}=\frac{z_{n}+\left|z_{n}\right|}{2}
(a) Exprimer znz_{n} à l'aide d'un produit.
(b) Déterminer la limite de la suite (zn)n∈N\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.
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Level 4
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie paru0∈]0;4[ et ∀n∈N,un+1=4un−un2\left.u_{0} \in\right] 0 ; 4\left[\text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=4 u_{n}-u_{n}^{2}\right. (a) Montrer que (un)\left(u_{n}\right) est bornée. Quelles sont les limites possibles de (un)\left(u_{n}\right) ?
(b) Montrer que si (un)\left(u_{n}\right) converge alors (un)\left(u_{n}\right) est soit stationnaire égale à 0 , soit stationnaire égale à 3 .
(c) En posant u0=4sin⁡2αu_{0}=4 \sin ^{2} \alpha, déterminer les valeurs de u0u_{0} pour lesquelles la suite (un)\left(u_{n}\right) est stationnaire.
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Level 3
Soient u0∈]0;1[\left.u_{0} \in\right] 0 ; 1[ et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=un−un2 u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}
Montrer que (un)\left(u_{n}\right) est monotone de limite nulle.
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants
∑k=0nuk2 et ∏k=0n(1−uk)\sum_{k=0}^{n} u_{k}^{2} \text { et } \prod_{k=0}^{n}\left(1-u_{k}\right)
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Level 3
Soient f:x↦x3+3ax3x2+af: x \mapsto \frac{x^{3}+3 a x}{3 x^{2}+a} (avec a>0a>0 ) et (un)\left(u_{n}\right) la suite définie par u0>0 et ∀n∈N,un+1=f(un)u_{0}>0 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) Étudier les variations de ff, le signe de f(x)−xf(x)-x et en déduire le comportement de (un)\left(u_{n}\right).
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Level 3
Soitf:x↦x3+13f: x \mapsto \frac{x^{3}+1}{3}et (un)\left(u_{n}\right) la suite définie paru0∈R et ∀n∈N,un+1=f(un)u_{0} \in \mathbb{R} \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) (a) Justifier que l'équation f(x)=xf(x)=x possède trois racines réelles (qu'on n'exprimera pas).
(b) Étudier le signe de f(x)−xf(x)-x ainsi que la monotonie de ff.
(c) Préciser le comportement de (un)\left(u_{n}\right) en discutant selon la valeur de u0u_{0}.
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Level 3
Soient a>0a>0,
u1=au_{1}=\sqrt{a},
u2=a+au_{2}=\sqrt{a+\sqrt{a}},
u3=a+a+a,.u_{3}=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}, .MontrerqueMontrer que \left(u_{n}\right)$ est convergente.
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Level 3
Étudier la suite définie par
u0∈R+u_{0} \in \mathbb{R}_{+}
et\text{et}
∀n∈N,un+1=1+14un2\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=1+\frac{1}{4} u_{n}^{2}
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Level 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite réelle vérifiant∀n∈N,un∈[1/2;1]\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in[1 / 2 ; 1]
Soit (vn)\left(v_{n}\right) la suite déterminée parv0=u0 et ∀n∈N,vn+1=vn+un+11+un+1vn. v_{0}=u_{0} \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=\frac{v_{n}+u_{n+1}}{1+u_{n+1} v_{n}} \text {. }
Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) converge et déterminer sa limite.
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Level 4
Soit a∈R+∗a \in \mathbb{R}_{+}^{*}. On définit une suite (un)\left(u_{n}\right) par$$u_{0}=a \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{\sum_{k=0}^{n} u_{k}} \text {.$
(a) Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
(b) Déterminer la limite de $u_{n+1}-u_{n}$.
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Level 3
Déterminer le terme général de la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par :u0=a>0,u1=b>0 et ∀n∈N,un+2un=un+12u_{0}=a>0, u_{1}=b>0 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2} u_{n}=u_{n+1}^{2}
À quelle condition (un)\left(u_{n}\right) converge?
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Level 4
On considère l'équation ln⁡x+x=0\ln x+x=0 d'inconnue x>0x>0. \\ (a) Montrer que l'équation possède une unique solution α\alpha. \\ (b) Former, par l'algorithme de Newton, une suite récurrente réelle (un)\left(u_{n}\right) convergeant vers α\alpha.
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Level 4
Soit a>0a>0 et (un)\left(u_{n}\right) la suite définie par u0>0u_{0}>0 et ∀n∈N,un+1=12(un+aun)\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{a}{u_{n}}\right)
(a) Étudier la convergence de la suite (un)\left(u_{n}\right).
(b) On pose pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} vn=un−aun+av_{n}=\frac{u_{n}-\sqrt{a}}{u_{n}+\sqrt{a}}
Calculer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_{n}, puis vnv_{n} en fonction de v0v_{0} et nn.
(c) Montrer que, si u0>au_{0}>\sqrt{a}, on a ∣un−a∣≤2u0⋅v02n\left|u_{n}-\sqrt{a}\right| \leq 2 u_{0} \cdot v_{0}^{2^{n}}
Ainsi, unu_{n} réalise une approximation de a\sqrt{a} à la précision 2u0⋅v02n⟶n→+∞02 u_{0} \cdot v_{0}^{2^{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0.
On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de a\sqrt{a}.
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Level 3
Soit a∈Ca \in \mathbb{C} tel que 0<∣a∣<10<|a|<1 et (un)\left(u_{n}\right) la suite définie par u0=a et ∀n∈N,un+1=un2−un. u_{0}=a \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2-u_{n}} \text {. }
Montrer que (un)\left(u_{n}\right) est bien définie et ∣un∣<1\left|u_{n}\right|<1.
Étudier la limite de (un)\left(u_{n}\right).
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Analyse
Level 4
Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite réelle définie par u0=a∈[−2;2] et ∀n∈N,un+1=2−un. u_{0}=a \in[-2 ; 2] \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{2-u_{n}} \text {. } \\ (a) Justifier que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien définie et ∀n∈N,un∈[−2;2]\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in[-2 ; 2] \\ (b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un)\left(u_{n}\right) ? \\ (c) Montrer que (∣un−1∣)\left(\left|u_{n}-1\right|\right) converge puis que lim⁡∣un−1∣=0\lim \left|u_{n}-1\right|=0. En déduire lim⁡un\lim u_{n}.
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Level 4
Étudier la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par
u0>0 et ∀n∈N,un+1=12+un. u_{0}>0 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{1}{2+u_{n}} \text {. }$
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Level 3
Résultat : Étudier la suite unu_{n} définie par u0∈Ru_{0} \in \mathbb{R}
 et ∀n∈N\text { et } \forall n \in \mathbb{N}, un+1=eun−1u_{n+1}=\mathrm{e}^{u_{n}}-1
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Level 3
Étudier la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par
u0=1u_{0}=1
 et \text { et }
∀n∈N,un+1=1+un\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}}
. \text {. }
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Level 3
Étudier la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0∈R<br/> et <br/>∀n∈N,<br/>un+1=un2+1u_{0} \in \mathbb{R} <br/> \text { et } <br/> \forall n \in \mathbb{N},<br/> u_{n+1}=u_{n}^{2}+1
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Level 2
Étudier la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par
u0=a∈R<br/> et <br/>∀n∈N,un+1=un2u_{0}=a \in \mathbb{R} <br/> \text { et } <br/> \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=u_{n}^{2}
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Level 3
Déterminer les fonctions f:R+∗→R+∗f: \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} vérifiant
f(f(x))+f(x)=2x pour tout x>0.f(f(x))+f(x)=2 x \quad \text { pour tout } x>0 .
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Level 3
Déterminer les fonctions f:R+∗→R+∗f: \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} vérifiant
∀x>0,f(f(x))=6x−f(x).\forall x>0, f(f(x))=6 x-f(x) .
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Level 4
Soit θ∈]0;π[]\theta \in] 0 ; \pi\left[\right.].
Déterminer le terme général de la suite réelle (un)\left(u_{n}\right) définie par :
u0=u1=1 et ∀n∈N,un+2−2cos⁡θun+1+un=0. u_{0}=u_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}-2 \cos \theta u_{n+1}+u_{n}=0 \text {. }
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Level 3
Donner l'expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes :
(a) (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} définie par u0=1,u1=0u_{0}=1, u_{1}=0 et ∀n∈N,un+2=4un+1−4un\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=4 u_{n+1}-4 u_{n}
(b) (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} définie par u0=1,u1=−1u_{0}=1, u_{1}=-1 et ∀n∈N,2un+2=3un+1−un\forall n \in \mathbb{N}, 2 u_{n+2}=3 u_{n+1}-u_{n}
(c) (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} définie par u0=1,u1=2u_{0}=1, u_{1}=2 et ∀n∈N,un+2=un+1−un\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=u_{n+1}-u_{n}.
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Level 4
Donner l'expression du terme général de la suite récurrente complexe (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} définie par :
u0=0,u_{0}=0,
u1=1+4u_{1}=1+4 i et
∀n∈N,\forall n \in \mathbb{N},
un+2=(3−2i)un+1−(5−5i)unu_{n+2}=(3-2 \mathrm{i}) u_{n+1}-(5-5 \mathrm{i}) u_{n}
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Level 2
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite réelle telle queu0=1 et ∀n∈N,un+1=(1+1n+1)unu_{0}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right) u_{n}
Donner l'expression du terme général unu_{n} de cette suite.
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Level 3
Étudier la suite (zn)n≥0\left(z_{n}\right)_{n \geq 0} définie par z0∈Cz_{0} \in \mathbb{C} et

∀n∈N,zn+1=zn+∣zn∣2\forall n \in \mathbb{N}, z_{n+1}=\frac{z_{n}+\left|z_{n}\right|}{2}
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Level 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) les suites déterminées par u0=1,v0=2u_{0}=1, v_{0}=2 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :un+1=3un+2vn et vn+1=2un+3vn. u_{n+1}=3 u_{n}+2 v_{n} \text { et } v_{n+1}=2 u_{n}+3 v_{n} \text {. } (a) Montrer que la suite (un−vn)\left(u_{n}-v_{n}\right) est constante.
(b) Prouver que (un)\left(u_{n}\right) est une suite arithmético-géométrique.
(c) Exprimer les termes généraux des suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right).
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Level 3
Soit (zn)\left(z_{n}\right) une suite complexe telle que∀n∈N,zn+1=13(zn+2zˉn)\forall n \in \mathbb{N}, z_{n+1}=\frac{1}{3}\left(z_{n}+2 \bar{z}_{n}\right)
Montrer que (zn)\left(z_{n}\right) converge
et exprimer sa limite en fonction de z0z_{0}.
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Level 2
Soit (xn)\left(x_{n}\right) et (yn)\left(y_{n}\right) deux suites réelles telles que∀n∈N,xn+1=xn−yn2 et yn+1=xn+yn2\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=\frac{x_{n}-y_{n}}{2} \text { et } y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}
En introduisant la suite complexe de terme général zn=xn+i.ynz_{n}=x_{n}+\mathrm{i} . y_{n},
montrer que les suites (xn)\left(x_{n}\right) et (yn)\left(y_{n}\right) convergent et déterminer leurs limites.
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Level 3
Donner l'expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle (un)n≥0\left(u_{n}\right)_{n \geq 0} définie par :
a) u0=0u_{0}=0 et ∀n∈N,un+1=2un+1\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=2 u_{n}+1
b) u0=0u_{0}=0 et ∀n∈N,un+1=un+12\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{u_{n}+1}{2}.
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Level 3
Montrer que la relation nunn+1−(n+1)unn=1n u_{n}^{n+1}-(n+1) u_{n}^{n}=1 définit une suite positive (un)\left(u_{n}\right) unique.
Étudier sa convergence et préciser sa limite.
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Level 3
Montrer que pour tout n≥1n \geq 1, l'équation xnn!=∑k=0n−1xkk!\frac{x^{n}}{n !}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^{k}}{k !}
possède une unique racine xnx_{n} dans ]0;+∞[] 0 ;+\infty\left[\right..
Déterminer lim⁡xn\lim x_{n}.
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Level 3
Soit nn un entier naturel non nul et EnE_{n} l'équation : xnln⁡x=1x^{n} \ln x=1 d'inconnue x∈R+∗x \in \mathbb{R}_{+}^{*}.
(a) Montrer que l'équation EnE_{n} admet une unique solution xnx_{n}, et que xn≥1x_{n} \geq 1.
(b) Montrer que la suite (xn)\left(x_{n}\right) est décroissante et converge vers 1 .
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Level 2
Montrer que l'équation xex=nx \mathrm{e}^{x}=n possède pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, une unique solution xnx_{n} dans R+\mathbb{R}_{+}
Étudier la limite de (xn)\left(x_{n}\right)
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Level 4
Soit nn un entier naturel et EnE_{n} l'équation x+tan⁡x=nx+\tan x=n d'inconnue x∈]−π/2;π/2[x \in]-\pi / 2 ; \pi / 2[.
(a) Montrer que l'équation EnE_{n} possède une solution unique notée xnx_{n}.
(b) Montrer que la suite (xn)\left(x_{n}\right) converge et déterminer sa limite.
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Level 3
Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite réelle telle que
∀n,p∈N∗,0≤un+p≤n+pnp\forall n, p \in \mathbb{N}^{*}, 0 \leq u_{n+p} \leq \frac{n+p}{n p}
Montrer que (un)\left(u_{n}\right) tend vers 0 .
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Level 4
Montrer que la suite de terme général sin⁡(n)\sin (n) diverge.
a)
b)
c)
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Level 4
Justifier que la suite de terme général cos⁡(n)\cos (n) diverge.
a)
b)
c)
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Level 2
On suppose que (un)\left(u_{n}\right) est une suite réelle croissante telle que (u2n)\left(u_{2 n}\right) converge.
Montrer que (un)\left(u_{n}\right) converge.
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Level 4
(Irrationalité de e) On pose pour n≥1n \geq 1, un=∑k=0n1k! et vn=un+1n⋅n!. u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !} \text { et } v_{n}=u_{n}+\frac{1}{n \cdot n !} \text {. } \\ (a) Montrer que les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) sont adjacentes. \\ (b) En exploitant l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction x↦exx \mapsto \mathrm{e}^{x}, montrer que un→u_{n} \rightarrow e. \\ (c) On suppose que e =p/q=p / q avec p,q∈N∗p, q \in \mathbb{N}^{*}. En considérant q.q!uqq . q ! u_{q} et q⋅q!vqq \cdot q ! v_{q} obtenir une absurdité.
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Level 3
(Moyenne arithmético-géométrique)
(a) Pour (a,b)∈R+2(a, b) \in \mathbb{R}^{+2}, établir :
2ab≤a+b2 \sqrt{a b} \leq a+b
(b) On considère les suites de réels positifs (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) définies par
u0=a,v0=b et ∀n∈N,un+1=unvn,vn+1=un+vn2u_{0}=a, v_{0}=b \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{u_{n} v_{n}}, v_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}
Montrer que, pour tout n≥1,un≤vn,un≤un+1n \geq 1, u_{n} \leq v_{n}, u_{n} \leq u_{n+1} et vn+1≤vnv_{n+1} \leq v_{n}.
(c) Établir que (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) convergent vers une même limite.
Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de aa et bb et est notée M(a,b)M(a, b).
(d) Calculer M(a,a)M(a, a) et M(a,0)M(a, 0) pour a∈R+a \in \mathbb{R}_{+}.
(e) Exprimer M(λa,λb)M(\lambda a, \lambda b) en fonction de M(a,b)M(a, b) pour λ∈R+\lambda \in \mathbb{R}_{+}.
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Level 2
Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, on pose Sn=∑k=1n1k2 et Sn′=Sn+1nS_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \text { et } S_{n}^{\prime}=S_{n}+\frac{1}{n}
Montrer que les suites (Sn)\left(S_{n}\right) et (Sn′)\left(S_{n}^{\prime}\right) sont adjacentes.
On peut montrer que leur limite commune est π2/6\pi^{2} / 6, mais c'est une autre histoire...
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Level 3
On poseun=∑k=1n1k−2n et vn=∑k=1n1k−2n+1.u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}-2 \sqrt{n} \text { et } v_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}-2 \sqrt{n+1}. Montrer que les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) sont adjacentes.Endeˊduireuneˊquivalentde En déduire un équivalent de\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}.$$
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Analyse
Level 4
Soient θ∈]0;π/2[\theta \in] 0 ; \pi / 2[ et
un=2nsin⁡θ2n,vn=2ntan⁡θ2nu_{n}=2^{n} \sin \frac{\theta}{2^{n}}, v_{n}=2^{n} \tan \frac{\theta}{2^{n}}
Montrer que les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) sont adjacentes.
Quelle est leur limite commune?
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