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Maths

Analyse

Level 3

Soient

a<b \in \overline{\mathbb{R}}

f:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R}

une fonction croissante.
Montrer que l'application

x \mapsto \lim _{x+} f

est croissante.

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Maths

Analyse

Level 4

(a) Soit

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction périodique convergeant en

+\infty

. Montrer que

g

est constante.
(b) Soient

f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

telles que

f

converge en

+\infty, g

périodique et

f+g

croissante.
Montrer que

g

est constante.

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Analyse

Level 3

Déterminer les limites suivantes
(a)

\lim _{x \rightarrow 0+}\lfloor 1 / x\rfloor

(b)

\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor

(c)

\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}\lfloor 1 / x\rfloor

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Analyse

Level 3

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a)

\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)

(c)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x-\sin x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \cos \mathrm{e}^{x}}{x^{2}+1}

(d)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\arctan x}{x}

(e)

\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor

(f)

\lim _{x \rightarrow+\infty} x\lfloor 1 / x\rfloor

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Level 3

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a)

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{\ln x+x}

(c)

\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}

(d)

\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}

(e)

\lim _{x \rightarrow 1+} \ln x \cdot \ln (\ln x)

\\
(f)

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\arccos x}

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Analyse

Level 3

Soit

f

une fonction définie sur un intervalle

I

a

un point de

I

qui n'en soit pas une extrémité. Si le rapport

\frac{1}{2 h}(f(a+h)-f(a-h))

admet une limite finie quand

h

tend vers 0 , celle-ci est appelée dérivée symétrique de

f

a

.
(a) Montrer que, si

f

est dérivable à droite et à gauche en

a

, elle admet une dérivée symétrique en

a

.
(b) Que dire de la réciproque?

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Analyse

Level 4

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

continue telle que

\lim _{-\infty} f=-1

\lim _{+\infty} f=1

.
Montrer que

f

s'annule.

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Level 3

Soient

a<b \in \overline{\mathbb{R}}

f:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R}

une fonction croissante.
Montrer que l'application

x \mapsto \lim _{x^{+}} f

est croissante.

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Level 4

(a) Soit

g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction périodique convergeant en

+\infty

. Montrer que

g

est constante.
(b) Soient

f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

telles que

f

converge en

+\infty, g

périodique et

f+g

croissante. Montrer que

g

est constante.

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Level 3

Déterminer les limites suivantes:
(a)

\lim _{x \rightarrow 0+}\lfloor 1 / x\rfloor

(b)

\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor

(c)

\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}\lfloor 1 / x\rfloor

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Level 3

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a)

\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)

(c)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x-\sin x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \cos \mathrm{e}^{x}}{x^{2}+1}

(d)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\arctan x}{x}

(e)

\lim _{x \rightarrow 0} x\lfloor 1 / x\rfloor

(f)

\lim _{x \rightarrow+\infty} x\lfloor 1 / x\rfloor

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Analyse

Level 3

Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
(a)

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}

(c)

\lim _{x \rightarrow 0+} x^{x}

(e)

\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\sqrt{x}}{\ln x+x}

(d)

\lim _{x \rightarrow 1+} \ln x \cdot \ln (\ln x)

(f)

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x}{\arccos x}

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