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Étudier la continuité sur R\mathbb{R} de l'application
f:xx+xxf: x \mapsto\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
La fonction tsin1tt \mapsto \sin \frac{1}{t} si t>0t>0 et 0 si t=0t=0 est-elle continue par morceaux sur [0;1][0 ; 1] ?
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[a;b]Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} une fonction en escalier.
Montrer qu'il existe une subdivision σ\sigma du segment [a;b][a ; b] adaptée à ff telle que toute autre subdivision adaptée à ff soit plus fine que σ\sigma.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle quex,yR,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) a)a) On suppose f(0)=0f(0)=0. Vérifierx,yR,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) b)b) On revient au cas général, déterminer ff.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On cherche les fonctions f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continues telles que x,yR,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y)) (a) On suppose ff solution et f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Montrer que ff est périodique et que xR,2f(x)=f(2x)\forall x \in \mathbb{R}, 2 f(x)=f(2 x) En déduire que ff est nulle. (b) Déterminer toutes les fonctions ff solutions."
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle que pour tout x,yRx, y \in \mathbb{R} f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) On suppose en outre que la fonction ff est continue en un point x0Rx_{0} \in \mathbb{R}. $$Déterminer la fonction $f$.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle quex,yR,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\ (a) Calculer f(0)f(0) et montrer que pour tout xR,f(x)=f(x)x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x). \\ (b) Justifier que pour tout nZn \in \mathbb{Z} et tout xR,f(nx)=nf(x)x \in \mathbb{R}, f(n x)=n f(x). \\ (c) Établir que pour tout rQ,f(r)=r \in \mathbb{Q}, f(r)= ar avec a=f(1)a=f(1). \\ (d) Conclure que pour tout xR,f(x)=axx \in \mathbb{R}, f(x)=a x.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que xR\forall x \in \mathbb{R}, f(x+12)=f(x)f\left(\frac{x+1}{2}\right)=f(x)
Montrer que ff est constante.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue en 0 et en 1 telle que

xR,f(x)=f(x2).<br/><br/>Montrerque\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=f\left(x^{2}\right) . <br/> <br/> Montrer que f$ est constante.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[[0;+[f:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[ continue vérifiant
ff=Idf \circ f=\mathrm{Id} \text {. }
Déterminer ff.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit α\alpha un réel compris au sens large entre 0 et 1/e1 / \mathrm{e}.
(a) Démontrer l'existence d'une fonction fC1(R,R)f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) vérifiant
xR,f(x)=αf(x+1)\forall x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\alpha f(x+1)
(b) Si α=1/\alpha=1 / e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient a<bRa<b \in \mathbb{R} et f:]a;b[Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction strictement croissante.
Montrer que ff est continue si, et seulement si, f(]a;b[)=]limaf;limbf[f(] a ; b[)=] \lim _{a} f ; \lim _{b} f[.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par $$f(x)=\frac{x}{1+|x|} \text{. }
(a) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $]-1 ; 1[$.
(b) Déterminer, pour $y \in]-1 ; 1\left[\right.$ une expression de $f^{-1}(y)$ analogue à celle de $f(x)$
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que chaque yRy \in \mathbb{R} admet au plus deux antécédents par ff.
Montrer qu'il existe un yRy \in \mathbb{R} possédant exactement un antécédent.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que
lim+f=limf=+\lim _{+\infty} f=\lim _{-\infty} f=+\infty
Montrer que ff admet un minimum absolu.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f,g:[a;b]Rf, g:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continues telles que x[a;b],f(x)<g(x)\forall x \in[a ; b], f(x)<g(x) Montrer qu'il existe α>0\alpha>0 tel que x[a;b],f(x)g(x)α\forall x \in[a ; b], f(x) \leq g(x)-\alpha
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} bornée et g:RRg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
Montrer que gfg \circ f et fgf \circ g sont bornées.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R\mathbb{R} est bornée.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et nNn \in \mathbb{N}^{*}. On note fnf^{n} l'itéré de composition d'ordre nn de la fonction ff :
fn=fff(n facteurs )f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f \quad(n \text { facteurs })
On suppose que fnf^{n} admet un point fixe, montrer que ff admet aussi un point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer la surjectivité de l'application
$$z \in \mathbb{C} \mapsto z \exp (z) \in \mathbb{C}$
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:[a;b]Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continue et p,qR+p, q \in \mathbb{R}_{+}.
Montrer qu'il existe c[a;b]c \in[a ; b] tel que
pf(a)+qf(b)=(p+q)f(c).p \cdot f(a)+q \cdot f(b)=(p+q) \cdot f(c) .
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que f++|f| \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty.
Montrer que f++f \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty ou f+f \underset{+\infty}{\longrightarrow}-\infty.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:IRg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que xI,f(x)=g(x)0\forall x \in I, |f(x)|=|g(x)| \neq 0. Montrer que f=gf=g ou f=gf=-g." Se transforme en: "Soient f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:IRg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que\\ xI,f(x)=g(x)0\forall x \in I, |f(x)|=|g(x)| \neq 0.\\ Montrer que f=gf=g ou f=gf=-g.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer que les seules applications continues de R\mathbb{R} vers Z\mathbb{Z} sont les fonctions constantes.

12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue, positive et telle que
limx+f(x)x=<1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\ell<1
Montrer qu'il existe α[0;+[\alpha \in[0 ;+\infty[ tel que f(α)=αf(\alpha)=\alpha.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue et décroissante.
Montrer que ff admet un unique point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;1][0;1]f:[0 ; 1] \rightarrow[0 ; 1] continue.
Montrer que ff admet un point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que limf=1\lim _{-\infty} f=-1
et lim+f=1\lim _{+\infty} f=1.
Montrer que ff s'annule.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Étudier la continuité de la fonction f:[0;+[Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=supnNxnn!f(x)=\sup _{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{n}}{n !}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)={1 si xQ0 sinon f(x)= \begin{cases}1 & \text { si } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text { sinon }\end{cases} \\ Montrer que ff est totalement discontinue.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f,g:[0;1]Rf, g:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} continue.
On poseφ(t)=supx[0;1](f(x)+tg(x))\varphi(t)=\sup _{x \in[0 ; 1]}(f(x)+\operatorname{tg}(x))
Montrer que φ\varphi est bien définie sur R\mathbb{R} et qu'elle y est lipschitzienne.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f,g:[0;1]Rf, g:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} continue.
On pose φ(t)=supx[0;1](f(x)+tg(x))\varphi(t)=\sup _{x \in[0 ; 1]}(f(x)+\operatorname{tg}(x))
Montrer que φ\varphi est bien définie sur R\mathbb{R} et qu'elle y est lipschitzienne.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction kk lipschitzienne (avec k[0;1[k \in[0 ; 1[ ) telle que f(0)=0f(0)=0.
Soient aRa \in \mathbb{R} et (un)\left(u_{n}\right) la suite réelle déterminée par
u0=a et nN,un+1=f(un)u_{0}=a \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)
Montrer que un0u_{n} \rightarrow 0.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On rappelle que pour tout xRx \in \mathbb{R}, on a sinxx|\sin x| \leq|x|.
Montrer que la fonction xsinxx \mapsto \sin x est 1 lipschitzienne.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue telle quex,yR,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y))
(a) On suppose f(0)=0f(0)=0. Vérifierx,yR,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y)
(b) On revient au cas général, déterminer ff.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
On cherche les fonctions f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continues telles que x,yR,f(x+y2)=12(f(x)+f(y))\forall x, y \in \mathbb{R}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y))
(a) On suppose ff solution et f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Montrer que ff est périodique et que xR,2f(x)=f(2x)\forall x \in \mathbb{R}, 2 f(x)=f(2 x)
En déduire que ff est nulle.
(b) Déterminer toutes les fonctions ff solutions."
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que \\ x,yR,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\ (a) Calculer f(0)f(0) et montrer que pour tout xR,f(x)=f(x)x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x). \\ (b) Justifier que pour tout nZn \in \mathbb{Z} et tout xR,f(nx)=nf(x)x \in \mathbb{R}, f(n x)=n f(x). \\ (c) Établir que pour tout rQ,f(r)=r \in \mathbb{Q}, f(r)= ar avec a=f(1)a=f(1). \\ (d) Conclure que pour tout xR,f(x)=axx \in \mathbb{R}, f(x)=a x.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que xR\forall x \in \mathbb{R},
f(x+12)=f(x)f\left(\frac{x+1}{2}\right)=f(x)
Montrer que ff est constante.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[[0;+[f:[0 ;+\infty[\rightarrow[0 ;+\infty[ continue vérifiantff=Idf \circ f=\mathrm{Id}
Déterminer ff.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit α\alpha un réel compris au sens large entre 0 et 1/1 / e.
(a) Démontrer l'existence d'une fonction fC1(R,R)f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) vérifiant
xR,f(x)=αf(x+1)\forall x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=\alpha f(x+1)
(b) Siα=1/\operatorname{Si} \alpha=1 / e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la relation précédente.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient a<bRa<b \in \mathbb{R} et f:]a;b[Rf:] a ; b[\rightarrow \mathbb{R} une fonction strictement croissante.
Montrer que ff est continue si, et seulement si, f(]a;b[)=]limaf;limbf[f(] a ; b[)=] \lim _{a} f ; \lim _{b} f[.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)=x1+xf(x)=\frac{x}{1+|x|} \text {. }
(a) Montrer que ff réalise une bijection de R\mathbb{R} vers ]1;1[]-1 ; 1[.
(b) Déterminer, pour y]1;1[y \in]-1 ; 1\left[\right. une expression de f1(y)f^{-1}(y) analogue à celle de f(x)f(x).
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que chaque yRy \in \mathbb{R} admet au plus deux antécédents par ff.
Montrer qu'il existe un yRy \in \mathbb{R} possédant exactement un antécédent.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue telle que\\ lim+f=limf=+\lim _{+\infty} f=\lim _{-\infty} f=+\infty\\ Montrer que ff admet un minimum absolu.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f,g:[a;b]Rf, g:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continues telles que\\ x[a;b],f(x)<g(x)\forall x \in[a ; b], f(x)<g(x)\\ Montrer qu'il existe α>0\alpha>0 tel que\\ x[a;b],f(x)g(x)α\forall x \in[a ; b], f(x) \leq g(x)-\alpha
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer qu'une fonction continue et périodique définie sur R\mathbb{R} est bornée.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue et nNn \in \mathbb{N}^{*}.
On note fnf^{n} l'itéré de composition d'ordre nn de la fonction ff : fn=fff(n facteurs )f^{n}=f \circ f \circ \cdots \circ f \quad(n \text { facteurs })
On suppose que fnf^{n} admet un point fixe,
montrer que ff admet aussi un point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer la surjectivité de l'application
zCzexp(z)Cz \in \mathbb{C} \mapsto z \exp (z) \in \mathbb{C}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Notre objectif dans cet exercice est d'établir la proposition :\\ Toute fonction f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} continue et injective est strictement monotone.\\ Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose :\\ (x1,y1)I2,x1<y1\exists\left(x_{1}, y_{1}\right) \in I^{2}, x_{1}<y_{1} et f(x1)f(y1)f\left(x_{1}\right) \geq f\left(y_{1}\right) et (x2,y2)I2,x2<y2\exists\left(x_{2}, y_{2}\right) \in I^{2}, x_{2}<y_{2} et f(x2)f(y2)f\left(x_{2}\right) \leq f\left(y_{2}\right).\\ Montrer que la fonction φ:[0;1]R\varphi:[0 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} définie par\\ φ(t)=f((1t)x1+tx2)f((1t)y1+ty2)\varphi(t)=f\left((1-t) x_{1}+t x_{2}\right)-f\left((1-t) y_{1}+t y_{2}\right)\\ s'annule. Conclure.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:[a;b]Rf:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R} continue et p,qR+p, q \in \mathbb{R}_{+}.
Montrer qu'il existe c[a;b]c \in[a ; b] tel que
p.f(a)+q.f(b)=(p+q).f(c).p . f(a)+q . f(b)=(p+q) . f(c) .
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue.
On suppose que f++|f| \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty.
Montrer que f++f \underset{+\infty}{\longrightarrow}+\infty ou f+f \underset{+\infty}{\longrightarrow}-\infty.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soient f:IRf: I \rightarrow \mathbb{R} et g:IRg: I \rightarrow \mathbb{R} deux fonctions continues telles que
xI,f(x)=g(x)0\forall x \in I,|f(x)|=|g(x)| \neq 0
Montrer que f=gf=g ou f=gf=-g.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Montrer que les seules applications continues de R\mathbb{R} vers Z\mathbb{Z} sont les fonctions constantes.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;+[Rf:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R} continue, positive et telle que
limx+f(x)x=<1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=\ell<1
Montrer qu'il existe α[0;+[\alpha \in[0 ;+\infty[ tel que f(α)=αf(\alpha)=\alpha.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} continue et décroissante.
Montrer que ff admet un unique point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;1][0;1]f:[0 ; 1] \rightarrow[0 ; 1] continue.
Montrer que ff admet un point fixe.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Déterminer une fonction f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} telle
ff ne présente ni minimum ni maximum sur aucun intervalle
[a;b][a ; b] avec
a<bRa<b \in \mathbb{R}.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION