Maths

Algèbre

Level 3

On cherche les polynômes

P(X)=(X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]

tels que

P(X)

divise

P\left(X^{3}\right)

.
Montrer que, si

a=b, P \in \mathbb{R}[X]

et que si

a \neq b

et

a^{3} \neq b^{3}

, il existe 6 polynômes dont 4 dans

\mathbb{R}[X]

.
Trouver les polynômes

P

si

a \neq b

et

a^{3}=b^{3}

et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans

\mathbb{R}[X]

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A, B, C \in \mathbb{K}[X]

tels que

A

et

B

soient premiers entre eux.
Montrer

\operatorname{pgcd}(A, B C)=\operatorname{pgcd}(A, C) .

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Maths

Algèbre

Level 3

On cherche les polynômes

P(X)=(X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]

tels que

P(X)

divise

P\left(X^{3}\right)

.
Montrer que, si

a=b, P \in \mathbb{R}[X]

et que si

a \neq b

et

a^{3} \neq b^{3}

, il existe 6 polynômes dont 4 dans

\mathbb{R}[X]

.
Trouver les polynômes

P

si

a \neq b

et

a^{3}=b^{3}

et en déduire que 13 polynômes en tout conviennent, dont 7 dans

\mathbb{R}[X]

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A, B, C \in \mathbb{K}[X]

tels que

A

et

B

soient premiers entre eux.
Montrer

\operatorname{pgcd}(A, B C)=\operatorname{pgcd}(A, C) .

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A, B \in \mathbb{K}[X]

non nuls.\\
Montrer :\\
a)

A

et

B

sont premiers entre eux si, et seulement si,\\
b)

A+B

et

A B

le sont.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A, B \in \mathbb{K}[X]

non nuls.
Montrer :
a)

A

et

B

sont premiers entre eux si, et seulement si,
b)

A+B

et
c)

A B

le sont.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

(A, B) \in(\mathbb{K}[X])^{2}

non nuls.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)

A

et

B

ne sont pas premiers entre eux.
(ii) il existe

(U, V) \in(\mathbb{K}[X]-\{0\})^{2}

tel que

A U+B V=0, \operatorname{deg} U<\operatorname{deg} B \text { et } \operatorname{deg} V<\operatorname{deg} A

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

(A, B) \in(\mathbb{K}[X])^{2}

non nuls. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)

A

et

B

ne sont pas premiers entre eux.
(ii) il existe

(U, V) \in(\mathbb{K}[X]-\{0\})^{2}

tel que

A U+B V=0, \operatorname{deg} U<\operatorname{deg} B \text { et } \operatorname{deg} V<\operatorname{deg} A

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

A, B \in \mathbb{K}[X]

tels que

A^{2} \mid B^{2}

.
Montrer que

A \mid B

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

A, B \in \mathbb{K}[X]

tels que

A^{2} \mid B^{2}

.
Montrer que

A \mid B

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

.
Montrer que

P(X)-X

divise

P(P(X))-X

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

. Montrer que:

a)

P(X)-X

divise

P(P(X))-X

. \\

b)

\\

c)

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

.
(a) Montrer que

P(X)-X

divise

P(P(X))-P(X)

.
(b) En déduire que

P(X)-X

divise

P(P(X))-X

.
(c) On note

P^{[n]}=P \circ \ldots \circ P

(composition à

n \geq 1

facteurs). Établir que

P(X)-X

divise

P^{[n]}(X)-X

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

(a) Montrer que

P(X)-X

divise

P(P(X))-P(X)

.
(b) En déduire que

P(X)-X

divise

P(P(X))-X

.
(c) On note

P^{[n]}=P \circ \ldots \circ P

(composition à

n \geq 1

facteurs).
Établir que

P(X)-X

divise

P^{[n]}(X)-X

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Maths

Algèbre

Level 3

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^{2}

pour que

X^{2}+2

divise

X^{4}+X^{3}+\lambda X^{2}+\mu X+2

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Maths

Algèbre

Level 3

En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^{2}

pour que

X^{2}+2

divise

X^{4}+X^{3}+\lambda X^{2}+\mu X+2

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
(a)

X-1 \mid X^{3}-2 X^{2}+3 X-2

(b)

X-2 \mid X^{3}-3 X^{2}+3 X-2

(c)

X+1 \mid X^{3}+3 X^{2}-2

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant :
(a)

X-1 \mid X^{3}-2 X^{2}+3 X-2

(b)

X-2 \mid X^{3}-3 X^{2}+3 X-2

(c)

X+1 \mid X^{3}+3 X^{2}-2

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n, m \in \mathbb{N}^{*}

(a) De la division euclidienne de

n

par

m

, déduire celle de

X^{n}-1

par

X^{m}-1

.
(b) Établir que

\operatorname{pgcd}\left(X^{n}-1, X^{m}-1\right)=X^{\operatorname{pgcd}(n, m)}-1

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n, m \in \mathbb{N}^{*}

(a) De la division euclidienne de

n

par

m

, déduire celle de

X^{n}-1

par

X^{m}-1

.
(b) Établir que

\operatorname{pgcd}\left(X^{n}-1, X^{m}-1\right)=X^{\operatorname{pgcd}(n, m)}-1

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

k, n \in \mathbb{N}^{*}

et

r

le reste de la division euclidienne de

k

par

n

.
Montrer que le reste de la division euclidienne de

X^{k} \operatorname{par} X^{n}-1

est

X^{r}

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

k, n \in \mathbb{N}^{*}

et

r

le reste de la division euclidienne de

k

par

n

.
Montrer que le reste de la division euclidienne de

X^{k} \operatorname{par} X^{n}-1

est

X^{r}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

t \in \mathbb{R}

et

n \in \mathbb{N}^{*}

.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans

\mathbb{R}[X]

de

(X \cos t+\sin t)^{n}

par

X^{2}+1

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

t \in \mathbb{R}

et

n \in \mathbb{N}^{*}

.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans

\mathbb{R}[X]

de

(X \cos t+\sin t)^{n}

par

X^{2}+1

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

a \in \mathbb{K}

et

P \in \mathbb{K}[X]

.
Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X-a)^{2}

en fonction de

P(a)

et

P^{\prime}(a)

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

a \in \mathbb{K}

et

P \in \mathbb{K}[X]

.
Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X-a)^{2}

en fonction de

P(a)

et

P^{\prime}(a)

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

(a, b) \in \mathbb{K}^{2}

tels que

a \neq b

et

P \in \mathbb{K}[X]

.
Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X-a)(X-b)

en fonction de

P(a)

et

P(b)

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

(a, b) \in \mathbb{K}^{2}

tels que

a \neq b

et

P \in \mathbb{K}[X]

.
Exprimer le reste de la division euclidienne de

P

par

(X-a)(X-b)

en fonction de

P(a)

et

P(b)

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour

n \in \mathbb{N}^{*}

, on désigne par

N

le nombre de diviseurs positifs de

n

et par

P

leur produit. Quelle relation existe-t-il entre

n, N

et

P

?
(c) Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}^{*}, \varphi_{n+m}=\varphi_{m} \varphi_{n+1}+\varphi_{m-1} \varphi_{n}

(d) En déduire

\forall m, n \in \mathbb{N}^{*}, \operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{m+n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{m}\right)

\operatorname{puis} \operatorname{pgcd}\left(\varphi_{m}, \varphi_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{n}, \varphi_{r}\right)

où

r

est le reste de la division euclidienne de

m

par

n

.
(e) Conclure

\operatorname{pgcd}\left(\varphi_{m}, \varphi_{n}\right)=\varphi_{\operatorname{pgcd}(m, n)}

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Maths

Algèbre

Level 2

Résoudre dans

\mathbb{Z}^{2}

les équations suivantes :
(a)

x y=3 x+2 y

(b)

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}

(c)

x^{2}-y^{2}-4 x-2 y=5

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Maths

Algèbre

Level 4

Résoudre dans

\mathbb{Z}

les équations suivantes :
(a)

x-1 \mid x+3

b)

x+2 \mid x^{2}+2

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Pour

p \in \mathcal{P}

et

n \in \mathbb{Z}

, on note

v_{p}(n)

l'exposant de la plus grande puissance de

p

divisant

n

.
(a) Montrer que

v_{2}(1000

!)

=994

.
(b) Plus généralement, calculer

v_{p}(n

!).
On rappelle que

\forall x \in \mathbb{R},\left\lfloor\frac{\lfloor p x\rfloor}{p}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\sigma: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}

qui à

n \in \mathbb{Z}

associe la somme de diviseurs positifs de

n

.
(a) Soit

p \in \mathcal{P}

et

\alpha \in \mathbb{N}^{*}

. Calculer

\sigma\left(p^{\alpha}\right)

.
(b) Soient

a, b \in \mathbb{Z}

premiers entre eux. Montrer que tout diviseur positif

d

du produit

a b

s'écrit de manière unique

d=d_{1} d_{2}

avec

d_{1}

et

d_{2}

diviseurs positifs de

a

et

b

.
(c) En déduire que si

a

et

b

sont premiers entre eux alors

\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b)

(d) Exprimer

\sigma(n)

en fonction de la décomposition primaire de

n

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

dont la décomposition primaire est

n=\prod_{i=1}^{N} p_{i}^{\alpha_{i}}

On note

d(n)

le nombre de diviseurs supérieurs ou égaux à 1 de

n

et

\sigma(n)

la somme de ceux-ci.
Montrer

d(n)=\prod_{i=1}^{N}\left(\alpha_{i}+1\right) \text { et } \sigma(n)=\prod_{i=1}^{N} \frac{p_{i}^{\alpha_{i}+1}-1}{p_{i}-1}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

et

n=\prod_{k=1}^{N} p_{k}^{\alpha_{k}}

sa décomposition primaire.
Quel est le nombre de diviseurs positifs de

n

?

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

p \in \mathcal{P}

et

\alpha \in \mathbb{N}^{*}

.
Déterminer les diviseurs positifs de

p^{\alpha}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

On étudie l'équation algébrique

(E): x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0

d'inconnue

x

et où les coefficients

a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}

sont supposés entiers.
Montrer que les solutions réelles de

(E)

sont entières ou irrationnelles.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

On divise un cercle en

n

arcs égaux et on joint les points de division de

p

en

p

jusqu'à ce qu'on revienne au point de départ.
Quel est le nombre de côtés du polygone construit?

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a, b \in \mathbb{N}^{*}

.
On suppose qu'il existe

m, n

premiers entre eux tels que

a^{m}=b^{n}

.
Montrer qu'il existe

c \in \mathbb{N}^{*}

tel que

a=c^{n}

et

b=c^{m}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

x \in \mathbb{Q}

.
On suppose qu'il existe

n \in \mathbb{N}^{*}

tel que

x^{n} \in \mathbb{Z}

.
Montrer que

x \in \mathbb{Z}

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

n \in \mathbb{N}

, montrer

\sqrt{n} \in \mathbb{Q} \Longleftrightarrow \exists m \in \mathbb{N}, n=m^{2}

En déduire que \sqrt{2} \n\n\notin \mathbb{Q}
et \sqrt{3} \n\n\notin \mathbb{Q}

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