Maths

Algèbre

Level 4

(Nombres de Carmichael) Soit

n

un entier supérieur à 2
On suppose que

n

pour tout facteur premier

p

de

n, p^{2}

ne divise pas

n

mais

p-1

divise

n-1

.
Établir

\forall a \in \mathbb{Z}, a^{n} \equiv a[n]

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

n \geq 2

un entier.
On suppose

\forall a \in\{1, \ldots, n-1\}, a^{n-1} \equiv 1[n]

Montrer que

n

est un nombre premier

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

p

un nombre premier.
(a) Montrer

\forall k \in\{1,2, \ldots, p-1\}, p \mid\left(\begin{array}{l}p \\k\end{array}\right)

(b) En déduire que

\forall n \in \mathbb{Z}, n^{p} \equiv n[p]

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E=\left\{4 k-1 \mid k \in \mathbb{N}^{*}\right\}

.
(a) Montrer que pour tout

n \in E

, il existe

p \in \mathcal{P} \cap E

tel que

p \mid n

.
(b) En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers

p

tel que

p=-1

[4].

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a, b \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

et

n \in \mathbb{N}^{*}

.
On suppose que

a^{n}+b^{n}

est un nombre premier.
Montrer que

n

est une puissance de 2.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient des entiers

a>1

et

n>0

.
Montrer que si

a^{n}+1

est premier alors

n

est une puissance de 2 .

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Maths

Algèbre

Level 3

On suppose que

n

est un entier

\geq 2

tel que

2^{n}-1

est premier.
Montrer que

n

est nombre premier.

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Maths

Algèbre

Level 4

Justifier l'existence de 1000 entiers consécutifs sans nombres premiers.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

n

un naturel non nul.
Montrer qu'il existe toujours un nombre premier strictement compris entre

n

et

n !+2

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

n \geq 2

et

N

la somme de

n

entiers impairs consécutifs.
Montrer que

N

n'est pas un nombre premier.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

n \in \mathbb{N}

.
Montrer que les entiers

a_{i}=i . n !+1

pour

i \in\{1, \ldots, n+1\}

sont deux à deux premiers entre eux.

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Maths

Algèbre

Level 5

Soient

a

et

b

deux entiers relatifs premiers entre eux et

d \in \mathbb{N}

un diviseur de

a b

.
Montrer

\exists !\left(d_{1}, d_{2}\right) \in \mathbb{N}^{2}, d=d_{1} d_{2}, d_{1} \mid a \text { et } d_{2} \mid b

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Maths

Algèbre

Level 4

(a) Pour

n \in \mathbb{N}

, montrer qu'il existe un couple unique

\left(a_{n}, b_{n}\right) \in \mathbb{N}^{2}

tel que

(1+\sqrt{2})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{2}

.
(b) Calculer

a_{n}^{2}-2 b_{n}^{2}

.
(c) En déduire que

a_{n}

et

b_{n}

sont premiers entre eux.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a

et

b

deux entiers premiers entre eux non nuls.
Notre but est de déterminer tous les couples

(u, v) \in \mathbb{Z}^{2}

tels que

a u+b v=1

.
(a) Justifier l'existence d'au moins un couple solution

\left(u_{0}, v_{0}\right)

.
(b) Montrer que tout autre couple solution est de la forme

\left(u_{0}+k b, v_{0}-k a\right)

avec

k \in \mathbb{Z}

.
(c) Conclure.

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

a

et

b

premiers entre eux et

c \in \mathbb{Z}

.
Montrer que

\operatorname{pgcd}(a, b c)=\operatorname{pgcd}(a, c)

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que pour tout entier

n \in \mathbb{N}^{*}, n+1

et

2 n+1

sont premiers entre eux.
En déduire

n+1 \mid\left(\begin{array}{c}2 n \\n\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

on a :
(a)

\left(n^{2}+n\right) \wedge(2 n+1)=1

(b)

\left(3 n^{2}+2 n\right) \wedge(n+1)=1

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

a, b \in \mathbb{Z}

.
(a) On suppose

a \wedge b=1

. Montrer que

(a+b) \wedge a b=1

.
(b) On revient au cas général. Calculer

\operatorname{pgcd}(a+b, \operatorname{ppcm}(a, b))

.

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