Maths

Algèbre

Level 4

Résoudre, en discutant selon

a, b \in \mathbb{R}

le système

\left\{\begin{array}{l}a x+y+z+t=1 \\x+a y+z+t=b \\x+y+a z+t=b^{2} \\x+y+z+a t=b^{3} .\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

Discuter suivant

a

et

b

et résoudre

\left\{\begin{array}{l}a x+2 b y+2 z=1 \\ 2 x+a b y+2 z=b \\ 2 x+2 b y+a z=1\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a_{1}, \ldots, a_{n}

des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à

n

sommets

z_{1}, \ldots, z_{n}

tel que :

a_{i}

est le milieu de

\left[z_{i} ; z_{i+1}\right]

et

a_{n}

est le milieu de

\left[z_{n} ; z_{1}\right]

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes :

\left\{\begin{array}{rlrl} x_{1}+x_{2} & & &=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} & & & =0 \\ x_{2}+x_{3}+x_{4} & & & =0 \\ \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n} &&& =0 \\ x_{n-1}+x_{n} &&& =0 .\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre le système d'équations suivant d'inconnues complexes :

\left\{\begin{array} {l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n} & =1 \\ x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+\cdots+2 x_{n} & =1 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+3 x_{n} & =1 \\ \vdots & \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n} & =1\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a, b \in \mathbb{C}

. Résoudre le système :

\left\{\begin{array}{l}a x+b y+z=1 \\ x+a b y+z=b \\ x+b y+a z=1\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre en fonction du paramètre

m \in \mathbb{C}

, les systèmes suivants d'inconnues complexes :
(a)

\left\{\begin{aligned} x-y+z & =m \\ x+m y-z & =1 \\ x-y-z & =1\end{aligned}\right.

(b)

\left\{\begin{array}{l}m x+y+z=1 \\ x+m y+z=m \\ x+y+m z=m^{2}\end{array}\right.

(c)

\left\{\begin{array}{l}m x+y+z+t=1 \\ x+m y+z+t=m \\ x+y+m z+t=m+1\end{array}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

On considère, pour

m

paramètre réel, les sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^{3}

:

F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+m y+z=0 \text { et } m x+y-m z=0\right\}

et

G=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-m y+z=0\right\}

(a)

Déterminer la dimension de

F

et

G

.

(b)

Discuser, selon la valeur de

m

, la dimension du sous-espace vectoriel

F \cap G

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Discuter, selon

m

paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^{3}

suivants :
(a)

F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\left\{\begin{array}{r}x+m y+z=0 \\ m x+y+m z=0\end{array}\right\}\right.

(b)

F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\left\{\begin{array}{l}x+y+m z=0 \\ x+m y+z=0 \\ m x+y+z=0\end{array}\right\}\right.

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Montrer que les matrices carrées d'ordre

n \geq 2

suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss :
(a)

A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -a & & (0) \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & -a \\ (0) & & & 1\end{array}\right)

(c)

C=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \cdots & n \\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & \ddots & 2 \\ (0) & & & 1\end{array}\right)

(b)

B=\left(\begin{array}{ccc}1 & & (1) \\ & \ddots & \\ (0) & & 1\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A=\left(1-\delta_{i, j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

(a) Calculer

A^{2}

.
(b) Montrer que

A

est inversible et exprimer

A^{-1}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\5 & -3 & 3 \\-1 & 0 & -2\end{array}\right)

(a) Calculer

(A+I)^{3}

.
(b) En déduire que

A

est inversible.

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Maths

Algèbre

Level 2

Montrer que la matrice

A=\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)

est inversible
et calculer son inverse.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A, B, C \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})(n \geq 2)

non nulles vérifiant

A B C=\mathrm{O}_{n}

Montrer qu'au moins deux des matrices

A, B, C

ne sont pas inversibles.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

telle que la matrice

I+A

soit inversible. On pose

B=(I-A)(I+A)^{-1}

.
(a) Montrer que

B=(I+A)^{-1}(I-A)

.
(b) Montrer que

I+B

est inversible et exprimer

A

en fonction de

B

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

et

\omega=\exp \left(\frac{2 \mathrm{i} \pi}{n}\right)

.
On pose

A=\left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1 \leq k, \ell \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

Calculer

A \bar{A}

.
En déduire que

A

est inversible et calculer

A^{-1}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Justifier que

A=\left(\begin{array}{ccc}1 & & (-1) \\& \ddots & \\0 & & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

est inversible et déterminer

A^{-1}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes :
(a)

A=

\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)

(b)

B=

\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1\end{array}\right)

(c)

C=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})

Observer que

A^{2}-(a+d) A+(a d-b c) I=0

À quelle condition

A

est-elle inversible?
Déterminer alors

A^{-1}

.

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