Maths

Algèbre

Level 3

On définit une suite de polynôme

\left(P_{n}\right)

par

P_{0}=2, P_{1}=X \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n}

(a) Calculer

P_{2}

et

P_{3}

.
Déterminer degré et coefficient dominant de

P_{n}

. (b) Montrer que, pour tout

n \in \mathbb{N}

et pour tout

z \in \mathbb{C}^{*}

on a

P_{n}(z+1 / z)=z^{n}+1 / z^{n} .

(c) En déduire une expression simple de

P_{n}(2 \cos \theta)

pour

\theta \in \mathbb{R}

. (d) Déterminer les racines de

P_{n}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 5

Quels sont les couples

(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^{2}

vérifiant

P^{2}+\left(1-X^{2}\right) Q^{2}=1

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer qu'il existe un unique polynôme

P \in \mathbb{C}[X]

tel que

P(\cos \theta)=\cos n \theta

pour tout

\theta

réel. On le note

T_{n}

.
(a) Lier

T_{n-1}, T_{n}

et

T_{n+1}

.
(b) Donner une équation différentielle vérifiée par

T_{n}

.
(c) Calculer

T_{n}^{(k)}(1)

et

T_{n}^{(k)}(-1)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

(Polynômes de Laguerre) Pour

n \in \mathbb{N}

, on définit

L_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

par

L_{n}(x)=\mathrm{e}^{x} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(\mathrm{e}^{-x} x^{n}\right)

Observer que

L_{n}

est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

On définit une suite de polynôme

\left(P_{n}\right)

par

P_{0}=2, P_{1}=X \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n}

(a) Calculer

P_{2}

et

P_{3}

.
Déterminer degré et coefficient dominant de

P_{n}

.
(b) Montrer que, pour tout

n \in \mathbb{N}

et pour tout

z \in \mathbb{C}^{*}

on a

P_{n}(z+1 / z)=z^{n}+1 / z^{n} .

(c) En déduire une expression simple de

P_{n}(2 \cos \theta)

pour

\theta \in \mathbb{R}

.
(d) Déterminer les racines de

P_{n}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 5

Quels sont les couples

(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^{2}

vérifiant

P^{2}+\left(1-X^{2}\right) Q^{2}=1

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}

. Montrer qu'il existe un unique polynôme

P \in \mathbb{C}[X]

tel que

P(\cos \theta)=\cos n \theta

pour tout

\theta

réel. On le note

T_{n}

.
(a) Lier

T_{n-1}, T_{n}

et

T_{n+1}

.
(b) Donner une équation différentielle vérifiée par

T_{n}

.
(c) Calculer

T_{n}^{(k)}(1)

et

T_{n}^{(k)}(-1)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

(Polynômes de Laguerre (1834-1886)) Pour

n \in \mathbb{N}

, on définit

L_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

par

\$<br/>\$

L_{n}(x)=\mathrm{e}^{x} \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{~d} x^{n}}\left(\mathrm{e}^{-x} x^{n}\right)$$\$
\$ Observer que $L_{n}$ est une fonction polynomiale dont on déterminera le degré et le coefficient dominant.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

\left(P_{n}\right)_{n \geq 0}

la suite de

\mathbb{K}[X]

définie par

P_{0}=0, P_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n} \text {. }

(a) Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, P_{n+1}^{2}=1+P_{n}P_{n+2}

(b) En déduire

\forall n \in \mathbb{N}, P_{n} \text { et } P_{n+1} \text { sont premiers entre eux }

(c) Établir pour que pour tout

m \in \mathbb{N}

et pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

on a

P_{m+n}=P_{n}P_{m+1}-P_{n-1}P_{m}

(d) Montrer que pour tout

m \in \mathbb{N}

et pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

on a

\operatorname{pgcd}\left(P_{m+n}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right) .

En déduire que

\operatorname{pgcd}\left(P_{m}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{r}\right)

où

r

est le reste de la division euclidienne de

m

par

n

. (e) Conclure

\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right)=P_{\operatorname{pgcd}(m, n)}

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

(Polynômes de Tchebychev (1821-1894)) Soit

n \in \mathbb{N}

. On pose

f_{n}:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}

l'application définie par

f_{n}(x)=\cos (n \arccos x) .

(a) Calculer

f_{0}, f_{1}, f_{2}

et

f_{3}

.
(b) Exprimer

f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x)

en fonction de

f_{n}(x)

.
(c) Établir qu'il existe un unique polynôme

T_{n}

de

\mathbb{R}[X]

dont la fonction polynomiale associée coïncide avec

f_{n}

sur

[-1 ; 1]

.
(d) Donner le degré de

T_{n}

ainsi que son coefficient dominant.
(e) Observer que

T_{n}

possède exactement

n

racines distinctes, que l'on exprimera, toutes dans

]-1 ; 1[

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que les sommes des zéros de

P

,

P^{\prime}

,

\ldots,

P^{(n-1)}

sont en progression arithmétique.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

\left(P_{n}\right)_{n \geq 0}

la suite de

\mathbb{K}[X]

définie par

P_{0}=0,

P_{1}=1 \text { et } \forall n \in \mathbb{N},

P_{n+2}=X P_{n+1}-P_{n} \text {. }

(a) Montrer

\forall n \in \mathbb{N},

P_{n+1}^{2}=1+P_{n} P_{n+2}

(b) En déduire

\forall n \in \mathbb{N},

P_{n} \text { et } P_{n+1} \text { sont premiers entre eux }

(c) Établir pour que pour tout

m \in \mathbb{N}

et pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

on a

P_{m+n}=P_{n} P_{m+1}-P_{n-1} P_{m}

(d) Montrer que pour tout

m \in \mathbb{N}

et pour tout

n \in \mathbb{N}^{*}

on a

\operatorname{pgcd}\left(P_{m+n}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right) .

En déduire que

\operatorname{pgcd}\left(P_{m}, P_{n}\right)=\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{r}\right)

où

r

est le reste de la division euclidienne de

m

par

n

. (e) Conclure

\operatorname{pgcd}\left(P_{n}, P_{m}\right)=P_{\operatorname{pgcd}(m, n)}

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

(Polynômes de Tchebychev (1821-1894)) Soit

n \in \mathbb{N}

. On pose

f_{n}:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}

l'application définie par

f_{n}(x)=\cos (n \arccos x) .

(a)

Calculer

f_{0}, f_{1}, f_{2}

et

f_{3}

.

(b)

Exprimer

f_{n+1}(x)+f_{n-1}(x)

en fonction de

f_{n}(x)

.

(c)

Établir qu'il existe un unique polynôme

T_{n}

de

\mathbb{R}[X]

dont la fonction polynomiale associée coïncide avec

f_{n}

sur

[-1 ; 1]

.

(d)

Donner le degré de

T_{n}

ainsi que son coefficient dominant.

(e)

Observer que

T_{n}

possède exactement

n

racines distinctes, que l'on exprimera, toutes dans

]-1 ; 1[

.

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Déterminer trois éléments

a, b, c

de

\mathbb{C}

, non tous réels, tels que

a+b+c

a^{2}+b^{2}+c^{2}

et

a^{3}+b^{3}+c^{3}

soient trois réels.
(b) Montrer que, si

a, b, c

sont trois éléments de

\mathbb{C}

de modules différents et si

a+b+c \in \mathbb{R}, a^{2}+b^{2}+c^{2} \in \mathbb{R}

et

a^{3}+b^{3}+c^{3} \in \mathbb{R}

, alors

a, b

et

c

sont trois réels.

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que les sommes des zéros de

P

,

P^{\prime}

,

\ldots

,

P^{(n-1)}

sont en progression arithmétique.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Déterminer trois éléments

a, b, c

de

\mathbb{C}

, non tous réels, tels que

a+b+c

a^{2}+b^{2}+c^{2}

et

a^{3}+b^{3}+c^{3}

soient trois réels.
(b) Montrer que, si

a, b, c

sont trois éléments de

\mathbb{C}

de modules différents et si

a+b+c \in \mathbb{R}

,

a^{2}+b^{2}+c^{2} \in \mathbb{R}

et

a^{3}+b^{3}+c^{3} \in \mathbb{R}

, alors

a, b

et

c

sont trois réels.
Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

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Maths

Algèbre

Level 4

Pour

n \in \mathbb{N}^{*}

on pose

P_{n}=\sum_{k=0}^{n} X^{k}

.
(a) Former la décomposition en facteurs premiers de

P_{n}

dans

\mathbb{C}[X]

.
(b) En déduire la valeur de

\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{k \pi}{n+1}

.

\left\{\begin{aligned}a_{0} S_{1}+a_{1} & =0 <br/> a_{0} S_{2}+a_{1} S_{1}+2 a_{2} & =0 <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{p}+a_{1} S_{p-1}+\cdots+a_{p-1} S_{1}+p a_{p} & =0 \quad(0<p \leq n) <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{n}+a_{1} S_{n-1}+\cdots+a_{n} S_{1} & =0 <br/> & \cdots <br/> a_{0} S_{n+k}+a_{1} S_{n+k-1}+\cdots+a_{n} S_{k} & =0 \quad(k>0) .\end{aligned}\right.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 4

Pour

n \in \mathbb{N}^{*}

on pose

P_{n}=\sum_{k=0}^{n} X^{k}

.
(a) Former la décomposition en facteurs premiers de

P_{n}

dans

\mathbb{C}[X]

.
(b) En déduire la valeur de

\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{k \pi}{n+1}

.

\left\{\begin{aligned}a_{0} S_{1}+a_{1} & =0 \\a_{0} S_{2}+a_{1} S_{1}+2 a_{2} & =0 \\& \cdots \\a_{0} S_{p}+a_{1} S_{p-1}+\cdots+a_{p-1} S_{1}+p a_{p} & =0 \quad(0<p \leq n) \\& \cdots \\a_{0} S_{n}+a_{1} S_{n-1}+\cdots+a_{n} S_{1} & =0 \\& \cdots \\a_{0} S_{n+k}+a_{1} S_{n+k-1}+\cdots+a_{n} S_{k} & =0 \quad(k>0) .\end{aligned}\right.

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Maths

Algèbre

Level 3

On considère le polynôme

P(X)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n} \in \mathbb{C}[X]

de racines

x_{1}, \ldots, x_{n}

comptées avec multiplicité.\\ Pour tout

p \in \mathbb{N}

, on pose

S_{p}=x_{1}^{p}+\cdots+x_{n}^{p}

Établir

\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{2}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

On considère le polynôme

P(X)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\cdots+a_{n} \in \mathbb{C}[X]

de racines

x_{1}, \ldots, x_{n}

comptées avec multiplicité.
Pour tout

p \in \mathbb{N}

, on pose

S_{p}=x_{1}^{p}+\cdots+x_{n}^{p}

Établir

\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^{2}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre dans

\mathbb{C}^{3}

le système

\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 <br/> x^{4}+y^{4}+z^{4}=0 <br/> x^{5}+y^{5}+z^{5}=0\end{array}\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre dans

\mathbb{C}^{3}

le système

\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=0 \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=0 \\ x^{5}+y^{5}+z^{5}=0\end{array}\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P=X^{3}+a X^{2}+b X+c

un polynôme complexe de racines

\alpha, \beta, \gamma

.
Calculer

\frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P=X^{3}+

a

X^{2}+

b

X+c

un polynôme complexe de racines

\alpha, \beta, \gamma

. Calculer
\\

\frac{\alpha}{\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\gamma+\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta}

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer les triplets

(x, y, z) \in \mathbb{C}^{3}

tels que :
(a)
\left\{\begin{array} { r l } { x + y + z } & { = 1 } \\{ 1 / x + 1 / y + 1 / z } & { = 1 } \\{ x y z } & { = - 4 }\end{array}
(b)

\left\{\begin{array}{l}x(y+z)=1 \\y(z+x)=1 \\z(x+y)=1\end{array}\right.

(c)

\left\{\begin{aligned}x+y+z & =2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2} & =14 \\x^{3}+y^{3}+z^{3} & =20\end{aligned}\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer les triplets

(x, y, z) \in \mathbb{C}^{3}

tels que :
(a)

\left\{\begin{array} { r l } { x + y + z } & { = 1 } \\{ 1 / x + 1 / y + 1 / z } & { = 1 } \\{ x y z } & { = - 4 }\end{array}\right.

(b)

\left\{\begin{array}{l}x(y+z)=1 \\y(z+x)=1 \\z(x+y)=1\end{array}\right.

(c)

\left\{\begin{aligned}x+y+z & =2 \\x^{2}+y^{2}+z^{2} & =14 \\x^{3}+y^{3}+z^{3} & =20\end{aligned}\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

On considère l'équation :

x^{3}-(2+\sqrt{2}) x^{2}+2(\sqrt{2}+1) x-2 \sqrt{2}=0

de racines

x_{1}, x_{2}

et

x_{3}

.
(a) Former une équation dont

x_{1}^{2}, x_{2}^{2}

et

x_{3}^{2}

seraient racines.
(b) En déduire les valeurs de

x_{1}, x_{2}, x_{3}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

On considère l'équation :

x^{3}-(2+\sqrt{2}) x^{2}+2(\sqrt{2}+1) x-2 \sqrt{2}=0

de racines

x_{1}, x_{2}

et

x_{3}

.
(a) Former une équation dont

x_{1}^{2}, x_{2}^{2}

et

x_{3}^{2}

seraient racines.
(b) En déduire les valeurs de

x_{1}, x_{2}, x_{3}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre

x^{3}-8 x^{2}+23 x-28=0

sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre

x^{3}-8 x^{2}+23 x-28=0

sachant que la somme de deux des racines est égale à la troisième.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Donner une condition nécessaire et suffisante sur

\lambda \in \mathbb{C}

pour que

X^{3}-7 X+\lambda

admette une racine qui soit le double d'une autre.
Résoudre alors l'équation.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Donner une condition nécessaire et suffisante sur

\lambda \in \mathbb{C}

pour que

X^{3}-7 X+\lambda

admette une racine qui soit le double d'une autre.
Résoudre alors l'équation.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Trouver les racines dans

\mathbb{C}

du polynôme

X^{4}+12 X-5

sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Trouver les racines dans

\mathbb{C}

du polynôme

X^{4}+12 X-5

sachant qu'il possède deux racines dont la somme est 2 .

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WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a \in] 0 ; \pi\left[\right.

et

n \in \mathbb{N}^{*}

.
Factoriser dans

\mathbb{C}[X]

puis dans

\mathbb{R}[X]

le polynôme

X^{2 n}-2 \cos (n a) X^{n}+1 .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a \in] 0 ; \pi\left[\right.

et

n \in \mathbb{N}^{*}

.
Factoriser dans

\mathbb{C}[X]

puis dans

\mathbb{R}[X]

le polynôme

X^{2 n}-2 \cos (n a) X^{n}+1 .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Former la décomposition primaire dans

\mathbb{R}[X]

de

P=X^{2 n+1}-1

(avec

n \in \mathbb{N}

).

"\\

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Maths

Algèbre

Level 3

Former la décomposition primaire dans

\mathbb{R}[X]

de

P=X^{2 n+1}-1

(avec

n \in \mathbb{N}

).

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Factoriser le polynôme

(X+\mathrm{i})^{n}-(X-\mathrm{i})^{n}

pour

n \in \mathbb{N}^{*}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Factoriser dans

\mathbb{R}[X]

les polynômes suivants :
(a)

X^{4}+X^{2}+1

(b)

X^{4}+X^{2}-6

(c)

X^{8}+X^{4}+1

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Factoriser le polynôme

(X+\mathrm{i})^{n}-(X-\mathrm{i})^{n}

pour

n \in \mathbb{N}^{*}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Factoriser dans

\mathbb{C}[X]

puis dans

\mathbb{R}[X]

les polynômes suivants :
(a)

X^{4}-1

(b)

X^{5}-1

(c)

\left(X^{2}-X+1\right)^{2}+1

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Factoriser dans

\mathbb{R}[X]

les polynômes suivants :
(a)

X^{4}+X^{2}+1

(b)

X^{4}+X^{2}-6

(c)

X^{8}+X^{4}+1

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X-1) \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Factoriser dans

\mathbb{C}[X]

puis dans

\mathbb{R}[X]

les polynômes suivants :
(a)

X^{4}-1

(b)

X^{5}-1

(c)

\left(X^{2}-X+1\right)^{2}+1

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Déterminer les polynômes

P

de

\mathbb{R}[X] \backslash\{0\}

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X-1) \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Déterminer les polynômes

P

de

\mathbb{R}[X] \backslash\{0\}

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

On cherche les polynômes

P

non nuls tels que

P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) \text {. }

(a) Montrer que toute racine d'un tel

P

est de module 1 .
(b) Déterminer les polynômes

P

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

On cherche les polynômes

P

non nuls tels que

P\left(X^{2}\right)=P(X-1) P(X) \text {. }

(a) Montrer que toute racine d'un tel

P

est de module 1 .
(b) Déterminer les polynômes

P

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1) \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

vérifiant

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1) \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Montrer que si

P \in \mathbb{R}[X] \backslash\{0\}

vérifie

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1)

ses racines sont parmi

0,1,-j,-j^{2}

.
En déduire tous les polynômes solutions.

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Maths

Algèbre

Level 4

Montrer que si

P \in \mathbb{R}[X] \backslash\{0\}

vérifie

P\left(X^{2}\right)=P(X) P(X+1)

ses racines sont parmi

0,1,-j,-j^{2}

.
En déduire tous les polynômes solutions.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme non nul tel que

P\left(X^{2}\right)+P(X) P(X+1)=0

(a) Montrer que si

a

est racine de

P

alors

a^{2}

l'est aussi.
(b) En déduire que

a=0

ou bien

a

est racine de l'unité.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme non nul tel que

P\left(X^{2}\right)+P(X) P(X+1)=0

\\ (a) Montrer que si

a

est racine de

P

alors

a^{2}

l'est aussi.
(b) En déduire que

a=0

ou bien

a

est racine de l'unité.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{Z}[X]

et

a, b

deux entiers relatifs avec

b>0

et

\sqrt{b}

irrationnel.
(a) Exemple : montrer que

\sqrt{6}

est irrationnel.
(b) Quelle est la forme de

(a+\sqrt{b})^{n}

?
(c) Montrer que si

a+\sqrt{b}

est racine de

P

alors

a-\sqrt{b}

aussi.
(d) On suppose que

a+\sqrt{b}

est racine double de

P

. Montrer que

P=R Q^{2}

avec

R

et

Q

dans

\mathbb{Z}[X]

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{Z}[X]

et

a, b

deux entiers relatifs avec

b>0

et

\sqrt{b}

irrationnel.
(a) Exemple : montrer que

\sqrt{6}

est irrationnel.
(b) Quelle est la forme de

(a+\sqrt{b})^{n}

?
(c) Montrer que si

a+\sqrt{b}

est racine de

P

alors

a-\sqrt{b}

aussi.
(d) On suppose que

a+\sqrt{b}

est racine double de

P

. Montrer que

P=R Q^{2}

avec

R

et

Q

dans

\mathbb{Z}[X]

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

tels que

P(1)=1,

P(2)=2,

P^{\prime}(1)=3,

P^{\prime}(2)=4,

P^{\prime \prime}(1)=5 \text { et }

P^{\prime \prime}(2)=6 \text {. }

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Maths

Algèbre

Level 4

Trouver les

P \in \mathbb{C}[X]

tels que

P(1)=1,

P(2)=2,

P^{\prime}(1)=3,

P^{\prime}(2)=4,

P^{\prime \prime}(1)=5

\text { et } P^{\prime \prime}(2)=6 \text {. }

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer les

P

de

\mathbb{R}[X]

tels que \\

(X+4) P(X)=X P(X+1)

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer les

P

de

\mathbb{R}[X]

tels que

(X+4) P(X)=X P(X+1)

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

n \in \mathbb{N}

pour que

X^{2}+X+1 \mid X^{2 n}+X^{n}+1

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

n \in \mathbb{N}

pour que

X^{2}+X+1 \mid X^{2 n}+X^{n}+1

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Maths

Algèbre

Level 2

Justifier

\forall(n, p, q) \in \mathbb{N}^{3},

1+X+X^{2} \mid X^{3 n}+X^{3 p+1}+X^{3 q+2}

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Maths

Algèbre

Level 2

Justifier

\forall(n, p, q) \in \mathbb{N}^{3}, 1+X+X^{2} \mid X^{3 n}+X^{3 p+1}+X^{3 q+2}

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Maths

Algèbre

Level 2

Justifier les divisibilités suivantes :
(a)

\forall n \in \mathbb{N}, X^{2} \mid(X+1)^{n}-n X-1

(b)

\forall n \in \mathbb{N}^{*},(X-1)^{3} \mid n X^{n+2}-(n+2) \cdot X^{n+1}+(n+2) X-n

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Maths

Algèbre

Level 2

Justifier les divisibilités suivantes :
(a)

\forall n \in \mathbb{N}, X^{2} \mid(X+1)^{n}-n X-1

(b)

\forall n \in \mathbb{N}^{*},(X-1)^{3} \mid n X^{n+2}-(n+2) \cdot X^{n+1}+(n+2) X-n

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

p

et

q

deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer

\left(X^{p}-1\right)\left(X^{q}-1\right) \mid(X-1)\left(X^{p q}-1\right)

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

p

et

q

deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Montrer

\left(X^{p}-1\right)\left(X^{q}-1\right) \mid(X-1)\left(X^{p q}-1\right)

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

\mathbb{K}

un corps et

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K}

deux à deux distincts.
(a) Calculer

\sum_{i=1}^{n} \prod_{j \neq i} \frac{X-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}

(b) On pose

A(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(X-a_{j}\right)

. Calculer

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{A^{\prime}\left(a_{i}\right)}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

\mathbb{K}

un corps et

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{K}

deux à deux distincts.
(a) Calculer

\sum_{i=1}^{n} \prod_{j \neq i} \frac{X-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}

(b) On pose

A(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(X-a_{j}\right)

. Calculer

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{A^{\prime}\left(a_{i}\right)}

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Maths

Algèbre

Level 4

(a) Montrer que

a=\cos (\pi / 9)

est racine d'un polynôme de degré trois à coefficients dans

\mathbb{Z}

.
(b) Justifier que le nombre

a

est irrationnel.

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Maths

Algèbre

Level 4

(a)

Montrer que

a=\cos (\pi / 9)

est racine d'un polynôme de degré trois à coefficients dans

\mathbb{Z}

.

(b)

Justifier que le nombre

a

est irrationnel.

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Maths

Algèbre

Level 4

(a) Soit

n \in \mathbb{N}

. Exprimer

\sin ((2 n+1) \alpha)

en fonction de

\sin \alpha

et

\cos \alpha

.
(b) En déduire que les racines du polynôme :

P(X)=\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\left(\begin{array}{l}2 n+1 \\2 p+1\end{array}\right) X^{n-p}

sont de la forme

x_{k}=\cot ^{2} \beta_{k}

.
Déterminer les

\beta_{k}

.

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Maths

Algèbre

Level 4

(a) Soit

n \in \mathbb{N}

. Exprimer

\sin ((2 n+1) \alpha)

en fonction de

\sin \alpha

et

\cos \alpha

.
(b) En déduire que les racines du polynôme :

P(X)=\sum_{p=0}^{n}(-1)^{p}\left(\begin{array}{l}2 n+1 \\2 p+1\end{array}\right) X^{n-p}

sont de la forme

x_{k}=\cot ^{2} \beta_{k}

.
Déterminer les

\beta_{k}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a, b, c

trois éléments, non nuls et distincts, du corps

\mathbb{K}

.
Démontrer que le polynôme

P=\frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)}

peut s'écrire sous la forme

P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1

où

\lambda

est une constante que l'on déterminera.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a, b, c

trois éléments, non nuls et distincts, du corps

\mathbb{K}

.
Démontrer que le polynôme

P=\frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)}

peut s'écrire sous la forme

P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1

où

\lambda

est une constante que l'on déterminera.

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Soit

P=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0}

un polynôme à coefficients entiers tel que

a_{n} \neq 0

et

a_{0} \neq 0

.\\On suppose que

P

admet une racine rationnelle

r=p / q

exprimée sous forme irréductible.Montrer que $p \mid a_{0}$ et $q \mid a_{n}$.\\ (b) FactoriserP=2 X^{3}-X^{2}-13 X+5 \text {. }

\\ (c) Le polynôme

P=X^{3}+3 X-1$$est-il irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ ?

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Soit

P=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\ldots+a_{1} X+a_{0}

un polynôme à coefficients entiers tel que

a_{n} \neq 0

et

a_{0} \neq 0

. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $r=p / q$ exprimée sous forme irréductible. Montrer que

p \mid a_{0}

et

q \mid a_{n}

. (b) Factoriser

P=2 X^{3}-X^{2}-13 X+5 \text {. }

(c) Le polynôme

P=X^{3}+3 X-1

est-il irréductible dans

\mathbb{Q}[X]

?

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

. \\ On suppose que

a \in \mathbb{R}

vérifie

P(a)>0 \text { et } \forall k \in \mathbb{N}^{*}, P^{(k)}(a) \geq 0

\\ Montrer que le polynôme

P

ne possède pas de racines dans

[a ;+\infty[

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

.
On suppose que

a \in \mathbb{R}

vérifie

P(a)>0 \text { et } \forall k \in \mathbb{N}^{*}, P^{(k)}(a) \geq 0

Montrer que le polynôme

P

ne possède pas de racines dans

[a ;+\infty[

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Trouver tous les polynômes

P \in \mathbb{R}[X]

tels que

\forall k \in \mathbb{Z}, \int_{k}^{k+1} P(t) \mathrm{d} t=k+1

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Maths

Algèbre

Level 3

Trouver tous les polynômes

P \in \mathbb{R}[X]

tels que

\forall k \in \mathbb{Z},

\int_{k}^{k+1} P(t) \mathrm{d} t=k+1

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

. \\ Montrer \\

P(X+1)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n !} P^{(n)}(X)

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{K}[X]

.
Montrer

P(X+1)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n !} P^{(n)}(X)

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Maths

Algèbre

Level 4

Montrer que pour tout entier naturel

n

, il existe un unique polynôme

P_{n} \in \mathbb{R}[X]

tel que

P_{n}-P_{n}^{\prime}=X^{n}

Exprimer les coefficients de

P_{n}

à l'aide de nombres factoriels.

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Maths

Algèbre

Level 4

Montrer que pour tout entier naturel

n

, il existe un unique polynôme

P_{n} \in \mathbb{R}[X]

tel que

P_{n}-P_{n}^{\prime}=X^{n}

Exprimer les coefficients de

P_{n}

à l'aide de nombres factoriels.

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Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre les équations suivantes :

(a)

P^{\prime 2}=4 P

d'inconnue

P \in \mathbb{K}[X]

(b)

\left(X^{2}+1\right) P^{\prime \prime}-6 P=0

d'inconnue

P \in \mathbb{K}[X]

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Résoudre les équations suivantes :
(a)

P^{\prime 2}=4 P

d'inconnue

P \in \mathbb{K}[X]<br/> (b)

\left(X^{2}+1\right) P^{\prime \prime}-6 P=0

d'inconnue

P \in \mathbb{K}[X]$.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P

un polynôme réel unitaire de degré

n \in \mathbb{N}

.
Montrer que

P

est scindé sur

\mathbb{R}

si, et seulement si,
pour tout

z

complexe

|\operatorname{Im}(z)|^{n} \leq|P(z)|

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P

un polynôme réel unitaire de degré

n \in \mathbb{N}

.
Montrer que

P

est scindé sur

\mathbb{R}

si, et seulement si, pour tout

z

complexe

|\operatorname{Im}(z)|^{n} \leq|P(z)|

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

scindé à racines simples.
Montrer qu'aucun coefficient nul de

P

ne peut être encadré par deux coefficients non nuls et de même signe.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

simplement scindé sur

\mathbb{R}

.
Montrer que

P

ne peut avoir deux coefficients consécutifs nuls.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

scindé sur

\mathbb{R}

.
Montrer que pour tout réel

\alpha

,
le polynôme

P^{\prime}+\alpha P

est lui aussi scindé sur

\mathbb{R}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

scindé à racines simples dans

\mathbb{R}

.
Montrer que pour tout

\alpha \in \mathbb{R}^{*}

les racines de

P^{2}+\alpha^{2}

dans

\mathbb{C}

sont toutes simples.

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Maths

Algèbre

Level 2

(a) Si

P \in \mathbb{R}[X]

est scindé sur

\mathbb{R}

, montrer que

P^{\prime}

est scindé ou constant sur

\mathbb{R}

.
(b)

\mathrm{Si}(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}

, montrer que

X^{10}+a X^{9}+b X^{8}+c X^{7}+X+1

n'est pas scindé sur

\mathbb{R}

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P

un polynôme de degré

n+1 \in \mathbb{N}^{*}

à coefficients réels possédant

n+1

racines réelles distinctes.
(a) Montrer que son polynôme dérivé

P^{\prime}

possède exactement

n

racines réelles distinctes.
(b) En déduire que les racines du polynôme

P^{2}+1

sont toutes simples dans

\mathbb{C}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

(a) Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction dérivable. On suppose que

f

s'annule au moins

n

fois. Montrer que

f^{\prime}

s'annule au moins

n-1

fois.
(b) Soit

P \in \mathbb{R}[X]

un polynôme scindé à racines simples avec

n=\operatorname{deg} P \geq 2

. Montrer que le polynôme

P^{\prime}

est lui aussi scindé.
(c) Montrer que le résultat perdure même si les racines de

P

ne sont pas simples.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

scindé de degré

\geq 2

; on veut montrer que le polynôme

P^{\prime}

est lui aussi scindé.
(a) Énoncer le théorème de Rolle.
(b) Si

x_{0}

est racine de

P

de multiplicité

m \geq 1

, déterminer sa multiplicité dans

P^{\prime}

?
(c) Prouver le résultat énoncé

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P

un polynôme complexe non constant.
Existe-t-il

\lambda \in \mathbb{C}

tel que

P-\lambda

soit scindé à racines simples?

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles.
Montrer que le polynôme

P+\bar{P}

est scindé dans

\mathbb{R}[X]

.

START THE EXERCICE

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P(X)=X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0} \in \mathbb{C}[X]

Montrer que si

\xi

est racine de

P

alors

|\xi| \leq 1+\max _{0 \leq k \leq n-1}\left|a_{k}\right|

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P=a_{0}+a_{1} X+\cdots+a_{n} X^{n} \in \mathbb{C}[X]

.
On pose

M=\sup _{|z|=1}|P(z)|

Montrer

\forall k \in\{0, \ldots, n\},\left|a_{k}\right| \leq M

On pourra employer des racines de l'unité.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

non constant et tel que

P(0)=1

.
Montrer que :

\forall \varepsilon>0, \exists z \in \mathbb{C},|z|<\varepsilon \text { et }|P(z)|<1

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

.
Montrer qu'il y a équivalence entre :
(i)

\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \geq 0

;
(ii)

\exists(A, B) \in \mathbb{R}[X]^{2}, P=A^{2}+B^{2}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\left(P_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}

la suite de polynômes définie par

P_{1}=X-2 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}^{*}, P_{n+1}=P_{n}^{2}-2

Calculer le coefficient de

X^{2}

dans

P_{n}

.

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Maths

Algèbre

Level 5

(a)

Pour

n \in \mathbb{N}

, développer le polynôme

(1+X)\left(1+X^{2}\right)\left(1+X^{4}\right) \ldots\left(1+X^{2^{n}}\right)

(b)

En déduire que tout entier

p>0

s'écrit de façon unique comme somme de puissance de

2: 1,2,4,8, \ldots

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Maths

Algèbre

Level 3

Trouver les

P \in \mathbb{R}[X]

tels que

P\left(X^{2}\right)=\left(X^{2}+1\right) P(X)

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Résoudre les équations suivantes :
(a)

Q^{2}=X P^{2}

d'inconnues

P, Q \in \mathbb{K}[X]

(b)

P \circ P=P

d'inconnue

P \in \mathbb{K}[X]

.

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