Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P

un polynôme de degré

n

vérifiant

\int_{0}^{1} x^{k} P(x) \mathrm{d} x=0 \quad \text { pour tout } k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket .

Montrer

\int_{0}^{1}(P(x))^{2} \mathrm{~d} x=(n+1)^{2}\left(\int_{0}^{1} P(x) \mathrm{d} x\right)^{2}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

p

et

n

deux entiers avec

0 \leq p<n

. \\ Former la décomposition en éléments simples dans

\mathbb{C}[X]

de \\

\frac{X^{p}}{X^{n}-1}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}

un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.
(a) Montrer

\forall x \in \mathbb{R},\left(P^{\prime 2}-P P^{\prime \prime}\right)(x) \geq 0

(b) En déduire

\forall k \in\{1, \ldots, n-1\}, a_{k-1} a_{k+1} \leq a_{k}^{2}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{C}

, deux à deux distincts, et

\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{C}

, deux à deux distincts, tels que

\forall i, j \in\{1,2, \ldots, n\}, a_{i}+\alpha_{j} \neq 0 .

Résoudre le système

\left\{\begin{array}{c}\frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{1}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{1}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{1}}=1 \\ \frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{2}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{2}}=1 \\ \vdots \\ \frac{x_{1}}{a_{1}+\alpha_{n}}+\frac{x_{2}}{a_{2}+\alpha_{n}}+\cdots+\frac{x_{n}}{a_{n}+\alpha_{n}}=1 .\end{array}\right.

$

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

P \in \mathbb{R}_{n}[X]

scindé à racines simples

\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)

.
Montrer

\sum_{k=1}^{n} \frac{P^{\prime \prime}\left(x_{k}\right)}{P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=0

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme scindé à racines simples :

x_{1}, \ldots, x_{n}

.
(a) Former la décomposition en éléments simples de

P^{\prime \prime} / P

.
(b) En déduire que

\sum_{k=1}^{n} \frac{P^{\prime \prime}\left(x_{k}\right)}{P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=0

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme scindé à racines simples

x_{1}, \ldots, x_{n}

.
(a) Former la décomposition en éléments simples de la fraction

1 / P

.
(b) On suppose

P(0) \neq 0

. Observer

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k} P^{\prime}\left(x_{k}\right)}=-\frac{1}{P(0)}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}

deux à deux distincts. On pose

Q=\prod_{k=1}^{n}\left(X-z_{k}\right)

(a) Pour

p \in\{0,1, \ldots, n-1\}

, exprimer la décomposition en éléments simples de

X^{p} / Q

à l'aide des

Q^{\prime}\left(z_{k}\right)

.
(b) En déduire, pour

p \in\{0,1, \ldots, n-1\}

, la valeur de

\sum_{k=1}^{n} \frac{z_{k}^{p}}{Q^{\prime}\left(z_{k}\right)}

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Maths

Algèbre

Level 5

Soient

n \in \mathbb{N}

tel que

n \geq 2

et

p \in\{0,1, \ldots, n-1\}

.
On pose pour

k \in\{0,1, \ldots, n-1\}, \omega_{k}=\exp \left(\frac{2 \mathrm{i} k \pi}{n}\right)

.
Mettre sous forme irréductible la fraction

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\omega_{k}^{p}}{X-\omega_{k}}

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Maths

Algèbre

Level 4

On pose

\omega_{k}=\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} k \pi / n}

avec

k \in\{0, \ldots, n-1\}

et

n \geq 2

.
Réduire au même dénominateur

F=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X-\omega_{k}}

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

F=\frac{1}{(X-1)^{3}(X+1)^{3}} .

(a) Quelle relation existe entre la partie polaire de

F

en 1 et celle en -1 .
(b) Former la décomposition en éléments simples de la fraction

F

.
(c) En déduire un couple

(U, V) \in \mathbb{R}[X]^{2}

tel que :

(X+1)^{3} U+(X-1)^{3} V=1

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

F=\frac{1}{X^{2}+1} \in \mathbb{C}(X)

(a) En réalisant la décomposition en éléments simples de

F

, exprimer

F^{(n)}

.
(b) Montrer qu'il existe

P_{n} \in \mathbb{R}_{n}[X]

tel que

F^{(n)}=\frac{P_{n}}{\left(X^{2}+1\right)^{n+1}}

(c) Déterminer les zéros de

P_{n}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Exprimer la dérivée d'ordre

n

de

\frac{1}{X\left(X^{2}+1\right)}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit la fraction

F=\frac{1}{X(X+1)}

(a)

Réaliser la décomposition en éléments simples de

F

.

(b)

En déduire une simplification pour

n \geq 1

de

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}

.

(c)

Procéder de même pour calculer :

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Décomposer en éléments simples dans

\mathbb{C}(X)

la fraction rationnelle

\frac{X^{n-1}}{X^{n}-1}

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Maths

Algèbre

Level 4

Effectuer la décomposition en éléments simples dans

\mathbb{C}(X)

des fractions rationnelles suivantes :
(a)

\frac{X^{2}+2 X+5}{X^{2}-3 X+2}

(d)

\frac{2 X}{X^{2}+1}

(b)

\frac{X^{2}+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}

(e)

\frac{1}{X^{2}+X+1}

(c)

\frac{1}{X(X-1)^{2}}

(f)

\frac{4}{\left(X^{2}+1\right)^{2}}

(g)

\frac{3 X-1}{X^{2}(X+1)^{2}}

(h)

\frac{1}{X^{4}+X^{2}+1}

(i)

\frac{3}{\left(X^{3}-1\right)^{2}}

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Maths

Algèbre

Level 5

Montrer qu'il n'existe pas de

F \in \mathbb{C}(X)

telle que

F^{\prime}=\frac{1}{X}

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

F \in \mathbb{K}(X)

.
(a) Soit

a

un zéro d'ordre

\alpha \geq 1

de

F

. Montrer que

a

est zéro d'ordre

\alpha-1

de

F^{\prime}

.
(b) Comparer les pôles de

F

et de

F^{\prime}

, ainsi que leur ordre de multiplicité.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

p

et

q

deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.
Déterminer les racines et les pôles de

F=\frac{X^{p}-1}{X^{q}-1}

en précisant les multiplicités respectives.

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Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer un supplémentaire de

\mathbb{K}[X]

dans

\mathbb{K}(X)

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

F \in \mathbb{K}(X)

.
Montrer que

\operatorname{deg} F^{\prime}<\operatorname{deg} F-1 \Longrightarrow \operatorname{deg} F=0

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle

F

telle que

F^{2}=X

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}

des complexes deux à deux distincts et

P=\left(X-\lambda_{1}\right) \ldots\left(X-\lambda_{n}\right)

.
Exprimer en fonction de

P

et de ses dérivées les fractions

F=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{X-\lambda_{k}}, \quad G=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(X-\lambda_{k}\right)^{2}} \quad \text { et } \quad H=\sum_{\substack{1 \leq k, \ell \leq n \\ k \neq \ell}} \frac{1}{\left(X-\lambda_{k}\right)\left(X-\lambda_{\ell}\right)}

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Maths

Algèbre

Level 4

Soit

F \in \mathbb{C}(X)

telle que, pour tout

n \in \mathbb{N}

non pôle de

F, F(n) \in \mathbb{Q}

.
Montrer que

F \in \mathbb{Q}(X)

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{n}}

.
(a) Soit

P \in \mathbb{C}[X]

un polynôme vérifiant

P(\omega X)=P(X)

Montrer qu'il existe un polynôme

Q \in \mathbb{C}[X]

tel que

P(X)=Q\left(X^{n}\right)

(b) En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle

F=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{X+\omega^{k}}{X-\omega^{k}}

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

F \in \mathbb{K}(X)

de représentant irréductible

P / Q

.
Montrer que

F

est paire si, et seulement si, les polynômes

P

et

Q

sont tous deux pairs.

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