Maths

Probabilités

Level 4

On donne la décomposition en facteurs irréductibles d'un entier

n \geq 2

.

n=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{r}^{\alpha_{r}}

Et note

\mathrm{P}

la probabilité uniforme sur

\Omega=\llbracket 1 ; n \rrbracket

. (a) Que définit la fonction d'Euler

\varphi(n)

? Rappeler sa valeur.

<br/> (b) Soit

d

un diviseur de

n

et

D(d)

l'ensemble de ses multiples dans

\Omega

. Calculer

\mathrm{P}(D(d))

. (c) On note

A

l'ensemble des entiers de

\Omega

premiers avec

n

; montrer

A=\bigcap_{k=1}^{r} \overline{D\left(p_{k}\right)}

(d) Retrouver la valeur de

\varphi(n)$.

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Maths

Probabilités

Level 3

Soient

A_{1}, \ldots, A_{n}

des événements mutuellement indépendants.
Montrer que la probabilité qu'aucun des

A_{i}

ne soit réalisé est inférieure à

\exp \left(-\sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}\left(A_{i}\right)\right)

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A, B, C

trois événements tels que

A

et

B \cup C

d'une part,

A

et

B \cap C

d'autre part, soient indépendants.
Les événements

A

et

B

sont-ils indépendants?

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A, B, C

trois événements tels que

A

et

B

d'une part,

A

et

C

d'autre part soient indépendants.
Les événements

A

et

B \cup C

sont-ils indépendants?
Même question avec

A

et

B \cap C

.

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Maths

Probabilités

Level 3

Montrer qu'un évènement

A

est indépendant de tout autre évènement si, et seulement si,

\mathrm{P}(A)=0

ou 1 .

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A

et

B

deux évènements indépendants.
Les évènements

A

et

\bar{B}

sont-ils aussi indépendants?

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Maths

Probabilités

Level 2

On lance à dé à six faces parfaitement équilibré.
Justifier l'indépendance des évènements

A=\ll

on obtient le tirage 2,4 ou

6 »

et

B=\ll

on obtient le tirage 3 ou

6 »

.

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