Maths

Probabilités

Level 2

Une pochette contient deux dés. L'un est parfaitement équilibré, mais le second donne un «six» une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). On tire au hasard un dé la pochette et on le lance.
(a) On obtient un «six». Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré?
(b) Au contraire, on a obtenu un «cinq». Même question.

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Maths

Probabilités

Level 3

Une succession d'individus

A_{1}, \ldots, A_{n}

se transmet une information binaire du type «oui » ou «non».
Chaque individu

A_{k}

transmet l'information qu'il a reçu avec la probabilité

p

à l'individu

A_{k+1}

ou la transforme en son inverse avec la probabilité

1-p

.
Chaque individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilité

p_{n}

pour que l'information reçue par

A_{n}

soit identique à celle émise par

A_{1}

.
On suppose

0<p<1

. Quelle est la limite de

p_{n}

quand

n

tend vers l'infini?

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Maths

Probabilités

Level 2

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire?

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Maths

Probabilités

Level 3

Une urne contient

n \in \mathbb{N}^{*}

boules numérotées de 1 à

n

. On tire avec remise des boules dans cette urne jusqu'à ce qu'une boule ait été tirée deux fois. On note

T

la variable aléatoire à valeurs dans

\llbracket 2 ; n+1 \rrbracket

précisant le nombre de tirages alors effectués.
(a) Proposer un espace probabilisé

(\Omega, \mathrm{P})

modélisant cette expérience.
(b) Calculer

\mathrm{P}(T=2)

.
(c) Soit

k \in \llbracket 1 ; n+1 \rrbracket

. Exprimer

\mathrm{P}(T>k \mid T>k-1)

.
(d) Donner un expression de

\mathrm{P}(T=k)

pour tout

k \in \llbracket 2 ; n+1 \rrbracket

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A, B, C

trois événements avec

\mathrm{P}(B \cap C)>0

.
Vérifier

\mathrm{P}(A \mid B \cap C) \mathrm{P}(B \mid C)=\mathrm{P}(A \cap B \mid C)

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Maths

Probabilités

Level 3

Cinq cartes d'un jeu de cinquante deux cartes sont servies à un joueur de Poker.
(a) Quelle est la probabilité que celle-ci comporte exactement une paire d'As?
(b) Même question sachant que le jeu distribué comporte au moins un As?

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Maths

Probabilités

Level 2

Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
(a) Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure à l'intérieur du tirage?
(b) Sachant qu'une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire?

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A

et

B

deux événements d'un espace probabilisé.
On suppose

0<\mathrm{P}(B)<1

.
Établir

\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A \mid B) \mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A \mid \bar{B}) \mathrm{P}(\bar{B})

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Maths

Probabilités

Level 2

On considère

N

coffres.
Avec une probabilité

p

un trésor à été placé dans l'un de ces coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable.
On a ouvert

N-1

coffres sans trouver le trésor.
Quelle est la probabilité pour qu'il figure dans le dernier coffre?

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Maths

Probabilités

Level 2

Soient

A

et

B

deux événements avec

\mathrm{P}(A)>0

. Comparer les probabilités conditionnelles\\

\mathrm{P}(A \cap B \mid A \cup B) \text { et } \\ \mathrm{P}(A \cap B \mid A) \text {. }

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