Maths

Algèbre

Level 3

(a) Montrer que la famille

(X+k)^{n}

pour

k \in\{0, \ldots, n\}

constitue une base de

\mathbb{R}_{n}[X]

.
(b) Redémontrer la formule donnant l'expression du déterminant de Vandermonde

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer, pour tout

n \in \mathbb{N}

, qu'il existe un unique

P_{n} \in \mathbb{R}_{n+1}[X]

tel que

P_{n}(0)=0

et

P_{n}(X+1)-P_{n}(X)=X^{n}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

n \in \mathbb{N}

et

A \in \mathbb{K}_{n}[X]

un polynôme non nul.
Montrer que

F=\left\{P \in \mathbb{K}_{n}[X]|A| P\right\}

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{K}_{n}[X]

et en déterminer la dimension et un supplémentaire.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

l'espace vectoriel des applications de

\mathbb{R}

dans

\mathbb{R}

.
On considère

F

la partie de

E

constituée des applications de la forme :

x \mapsto P(x) \sin x+Q(x) \cos x \text { avec } P, Q \in \mathbb{R}_{n}[X]

(a) Montrer que

F

un sous-espace vectoriel de

E

.
(b) Montrer que

F

est de dimension finie et déterminer

\operatorname{dim} F

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour

k \in\{0, \ldots, n\}

, on pose

P_{k}=(X+1)^{k+1}-X^{k+1}

.
Montrer que la famille

\left(P_{0}, \ldots, P_{n}\right)

est une base de

\mathbb{K}_{n}[X]

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

P_{1}=X^{2}+1,

P_{2}=X^{2}+X-1

et

P_{3}=X^{2}+X

.
Montrer que la famille

\left(P_{1}, P_{2}, P_{3}\right)

est une base de

\mathbb{K}_{2}[X]

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

E

l'ensemble des applications

f:[-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R}

continues telles que les restrictions

\left.f\right|_{[-1 ; 0]}

et

\left.f\right|_{[0 ; 1]}

soient affines.
(a) Montrer que

E

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.
(b) Donner une base de

E

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour

a \in \mathbb{R}_{+}

, on note

f_{a}

l'application de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{R}

définie par

f_{a}(t)=\cos (a t)

Montrer que la famille

\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}_{+}}

est une famille libre d'éléments de l'espace de

\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour

a \in \mathbb{R}

, on note

f_{a}

l'application de

\mathbb{R}

vers

\mathbb{R}

définie par

f_{a}(x)=|x-a|

.
Montrer que la famille

\left(f_{a}\right)_{a \in \mathbb{R}}

est une famille libre d'éléments de l'espace

\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}

.
Les fonctions

x \mapsto \sin (x+a)

,

x \mapsto \sin (x+b)

et

x \mapsto \sin (x+c)

sont-elles linéairement indépendantes?

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right)

une famille libre de vecteurs de

E

.
Montrer que pour tout

a \in E \backslash \operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right)

,
la famille

\left(e_{1}+a, \ldots, e_{p}+a\right)

est libre.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\left(\vec{x}_{1}, \ldots, \vec{x}_{n}\right)

une famille libre de vecteurs de

E

et

\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{K}

.
On pose

\vec{u}=\alpha_{1} \cdot \vec{x}_{1}+\cdots+\alpha_{n} \cdot \vec{x}_{n} \text { et } \forall 1 \leq i \leq n, \vec{y}_{i}=\vec{x}_{i}+\vec{u}

À quelle condition sur les

\alpha_{i}

, la famille

\left(\vec{y}_{1}, \ldots, \vec{y}_{n}\right)

est-elle libre?

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Maths

Algèbre

Level 3

Pour tout entier

0 \leq k \leq n

, on pose

f_{k}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

la fonction définie par

f_{k}(x)=\mathrm{e}^{k \cdot x}

.
Montrer que la famille

\left(f_{k}\right)_{0 \leq k \leq n}

est une famille libre de

\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

.

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Maths

Algèbre

Level 2

On pose

f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}:[0 ; 2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}

les fonctions définies par :

f_{1}(x)=\cos x

,

f_{2}(x)=x \cos x

,

f_{3}(x)=\sin x

et

f_{4}(x)=x \sin x

.
Montrer que la famille

\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}\right)

est libre.

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Maths

Algèbre

Level 2

Les familles suivantes de vecteurs de

\mathbb{R}^{3}

sont-elles libres?
Si ce n'est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs :
(a)

\left(x_{1}, x_{2}\right)

avec

x_{1}=(1,0,1)

et

x_{2}=(1,2,2)

(b)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(1,0,0), x_{2}=(1,1,0)

et

x_{3}=(1,1,1)

(c)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(1,2,1), x_{2}=(2,1,-1)

et

x_{3}=(1,-1,-2)

(d)

\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)

avec

x_{1}=(1,-1,1), x_{2}=(2,-1,3)

et

x_{3}=(-1,1,-1)

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Dans

\mathbb{R}^{3}

, on considère

x=(1,-1,1)

et

y=(0,1, a)

où

a \in \mathbb{R}

.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur

a

pour que

u=(1,1,2)

appartienne à

\operatorname{Vect}(x, y)

.
Comparer alors

\operatorname{Vect}(x, y), \operatorname{Vect}(x, u)

et

\operatorname{Vect}(y, u)

.

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Maths

Algèbre

Level 2

On considère les vecteurs de

\mathbb{R}^{3}

u=(1,1,1) \text { et } v=(1,0,-1) \text { . }

Montrer

\operatorname{Vect}(u, v)=\{(2 \alpha, \alpha+\beta, 2 \beta) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}

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Maths

Algèbre

Level 3

Comparer

\operatorname{Vect}(A \cap B)

et

\operatorname{Vect}(A) \cap \operatorname{Vect}(B)

.

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Maths

Algèbre

Level 4

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soient

u_{1}, \ldots, u_{n}

des vecteurs d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

.
Montrer que l'ensemble

F=\left\{\lambda_{1} u_{1}+\cdots+\lambda_{n} u_{n} \mid \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{K}\right\}

est un sous-espace vectoriel de

E

contenant les vecteurs

u_{1}, \ldots, u_{n}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\omega \in \mathbb{C}

.
On note

\omega . \mathbb{R}=\{\omega x \mid x \in \mathbb{R}\}

.
Montrer que

\omega \cdot \mathbb{R}

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{C}

vu comme

\mathbb{R}

-espace vectoriel.
À quelle condition

\omega . \mathbb{R}

est-il un sous-espace vectoriel de

\mathbb{C}

vu comme

\mathbb{C}

-espace vectoriel?

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Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que les parties de

\mathcal{F}([a ; b], \mathbb{R})

suivantes sont des sous-espaces vectoriels :
(a)

F=\left\{f \in \mathcal{C}^{1}([a ; b], \mathbb{R}) \mid f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)\right\}

(b)

G=\left\{f \in \mathcal{C}^{0}([a ; b], \mathbb{R}) \mid \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=0\right\}

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Maths

Algèbre

Level 2

Les parties de

\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?
(a)

\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f

est monotone

\}

(c)

\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f

s'annule

\}

(b)

\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f

s'annule en 0

\}

(d)

\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f

est impaire

\}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Soit

F=\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=n u_{n+1}+u_{n}\right\}

.
Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel de

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

.

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Maths

Algèbre

Level 3

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^{\mathbb{N}}

?
(a)

\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right.

bornée

\}

(b)

\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right.

monotone

\}

(c)

\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right.

convergente

\}

(d)

\left\{\left(u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid\left(u_{n}\right)\right.

arithmétique

\}

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Maths

Algèbre

Level 2

Soient

F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-z=0\right\}

et

G=\{(a-b, a+b, a-3 b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}

.
(a) Montrer que

F

et

G

sont des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^{3}

.
(b) Déterminer

F \cap G

.

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Maths

Algèbre

Level 2

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de

\mathbb{R}^{2}

?
(a)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \leq y\right\}

(b)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=0\right\}

(c)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=y\right\}

(d)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y=1\right\}

(e)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-y^{2}=0\right\}

(f)

\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=0\right\}

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Maths

Algèbre

Level 2

Soit

E

un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.
On munit le produit cartésien

E \times E

de l'addition usuelle

(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right)

et de la multiplication externe par les complexes définie par

(a+\mathrm{i} b) \cdot(x, y)=(a . x-b . y, a . y+b \cdot x)

Montrer que

E \times E

est alors un

\mathbb{C}

-espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de

E

.

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