Maths

Algèbre

Level 3

Soient

H

un hyperplan d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension quelconque
et

D

une droite vectorielle non incluse dans

H

.
Montrer que

D

et

H

sont supplémentaires dans

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Les applications entre

\mathbb{R}

-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :
(a)

f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x, y, z)=x+y+2 z

(b)

f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x, y)=x+y+1

(c)

f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x, y)=x y

(d)

f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x, y, z)=x-z

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

(Factorisation par un endomorphisme)
Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in \mathcal{L}(E)

.
Montrer

\text { Ker } f \subset \operatorname{Ker} g \Longleftrightarrow \exists h \in \mathcal{L}(E), g=h \circ f \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^{2}=0

avec

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie.
Montrer que

\exists g \in \mathcal{L}(E), f \circ g+g \circ f=\operatorname{Id}_{E} \Longleftrightarrow \operatorname{Im} f=\operatorname{Ker} f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un espace vectoriel,

F_{1}

et

F_{2}

deux sous-espaces vectoriels de

E

.
(a) Montrer que si

F_{1}

et

F_{2}

ont un supplémentaire commun alors ils sont isomorphes.
(b) Montrer que la réciproque est fausse.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Pour

p \in \mathbb{N}

et

a \in \mathbb{R} \backslash\{0,1\}

, on note

S_{p}

l'ensemble des suites

\left(u_{n}\right)

vérifiant

\exists P \in \mathbb{R}_{p}[X], \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=a u_{n}+P(n)

(a)

Montrer que si

u \in S_{p}, P

est unique; on le notera

P_{u}

.

(b)

Montrer que

S_{p}

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel.

(c)

Montrer que

\phi

, qui à

u

associe

P_{u}

, est linéaire et donner une base de son noyau.Que représente son image?

(d)

Donner une base de

S_{p}

(on pourra utiliser

R_{k}(X)=(X+1)^{k}-a X^{k}

pour

k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket)

.

(e)

Application: Déterminer la suite

\left(u_{n}\right)

définie par

u_{0}=-2 \text { et } u_{n+1}=2 u_{n}-2 n+7 \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

P \in \mathbb{R}[X]

.
Montrer que la suite

(P(n))_{n \in \mathbb{N}}

vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a, b \in \mathbb{R}

distincts.
Montrer qu'il existe un unique endomorphisme

\varphi

de

\mathbb{R}[X]

vérifiant

\varphi(1)=1, \varphi(X)=X \text { et } \forall P \in \mathbb{R}[X], P(a)=P(b)=0 \Longrightarrow \varphi(P)=0

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

A

un polynôme non nul de

\mathbb{R}[X]

et

r: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]

l'application définie par :

\forall P \in \mathbb{R}[X], r(P)

est le reste de la division euclidienne de

P

par

A

.
Montrer que

r

est un endomorphisme de

\mathbb{R}[X]

tel que

r^{2}=r \circ r=r

.
Déterminer le noyau et l'image de cet endomorphisme.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\varphi: \mathbb{K}_{n+1}[X] \rightarrow \mathbb{K}_{n}[X]

définie

\operatorname{par} \varphi(P)=(n+1) P-X P^{\prime}

.
(a) Justifier que

\varphi

est bien définie et que c'est une application linéaire.
(b) Déterminer le noyau de

\varphi

.
(c) En déduire que

\varphi

est surjective.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

\Delta: \mathbb{C}[X] \rightarrow \mathbb{C}[X]

l'application définie par

\Delta(P)=P(X+1)-P(X)

(a) Montrer que

\Delta

est un endomorphisme et que pour tout polynôme

P

non constant

\operatorname{deg}(\Delta(P))=\operatorname{deg} P-1

.
(b) Déterminer Ker

\Delta

et

\operatorname{Im} \Delta

.
(c) Soit

P \in \mathbb{C}[X]

et

n \in \mathbb{N}

. Montrer

\Delta^{n}(P)=(-1)^{n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) P(X+k)

(d) En déduire que, si

\operatorname{deg} P<n

, alors

\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)(-1)^{k} P(k)=0

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}, E=\mathbb{R}_{n}[X]

et

\Delta

l'endomorphisme de

E

déterminé par

\Delta(P)=P(X+1)-P(X)

(a) Justifier que l'endomorphisme

\Delta

est nilpotent.
(b) Déterminer des réels

a_{0}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}

non triviaux vérifiant :

\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X], \sum_{k=0}^{n+1} a_{k} P(X+k)=0

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

et

F

des

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f \in \mathcal{L}(F, E)

.
Exprimer la dimension de

\{g \in \mathcal{L}(E, F) \mid f \circ g \circ f=0\}

en fonction du rang de

f

et des dimensions de

E

et

F

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n

et

F

un sous-espace vectoriel de

E

de dimension

p

. On note

A_{F}=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid \operatorname{Im} f \subset F\} \text { et } B_{F}=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid F \subset \operatorname{Ker} f\}

(a)

Montrer que

A_{F}

et

B_{F}

sont des sous-espaces vectoriels de

\mathcal{L}(E)

et calculer leurs dimensions.

(b)

Soient

u

un endomorphisme de

\mathcal{L}(E)

et

\varphi: \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E)

définie par

\varphi(f)=u \circ f

. Montrer que

\varphi

est un endomorphisme de

\mathcal{L}(E)

. Déterminer

\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \varphi

.

(c)

Soit

v \in \operatorname{Im} \varphi

. Établir que

\operatorname{Im} v \subset \operatorname{Im} u

. Réciproque? Déterminer

\operatorname{rg} \varphi

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

et

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies.
Soit

W

un sous-espace vectoriel de

E

.
Soit

A

l'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

s'annulant sur

W

.
(a) Montrer que

A

est un espace vectoriel.
(b) Trouver la dimension de

A

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Montrer que l'ensemble des endomorphismes

g

de

E

tels que

f \circ g=0

est un sous-espace vectoriel de

\mathcal{L}(E)

de dimension

\operatorname{dim} E \times \operatorname{dim} \operatorname{Ker} f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

et

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies et

G

un sous-espace vectoriel de

E

. On pose

A=\{u \in \mathcal{L}(E, F) \mid G \subset \operatorname{Ker}(u)\} .

(a) Montrer que

A

est un sous-espace vectoriel de

\mathcal{L}(E, F)

.
(b) Déterminer la dimension de

A

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{p}\right)

une famille de formes linéaires indépendantes d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension

n \geq 1

.
(a) Justifier

p \leq n

.
(b) Déterminer la dimension de

F=\operatorname{Ker}\left(\varphi_{1}\right) \cap \ldots \cap \operatorname{Ker}\left(\varphi_{p}\right)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

et

F

des espaces vectoriels sur

\mathbb{K}

, de dimensions finies ou non.
Montrer que

(E \times F)^{*}

et

E^{*} \times F^{*}

sont isomorphes.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f_{1}, \ldots, f_{n}

des formes linéaires sur un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension

n

.
On suppose qu'il existe

x \in E

non nul tel que

f_{1}(x)=\ldots=f_{n}(x)=0

Montrer que la famille

\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)

est liée.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g

deux formes linéaires non nulles sur

E

.
Montrer

\exists x \in E, f(x) g(x) \neq 0 \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n \geq 1

.
Montrer

\forall x, y \in E, x \neq y \Longrightarrow \exists \varphi \in E^{*}, \varphi(x) \neq \varphi(y)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}

des réels non nuls deux à deux distincts.
On note

F_{j}

l'application de

\mathbb{R}_{n}[X]

dans

\mathbb{R}

définie par

F_{j}(P)=\int_{0}^{a_{j}} P

Montrer que

\left(F_{0}, F_{1}, \ldots, F_{n}\right)

est une base de

\left(\mathbb{R}_{n}[X]\right)^{*}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}

deux à deux distincts.
Montrer qu'il existe

\left(\lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}

unique vérifiant

\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X], \int_{0}^{1} P(t) \mathrm{d} t=\sum_{k=0}^{n} \lambda_{k} P\left(a_{k}\right)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n

et

\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)

une famille de formes linéaires sur

E

.
On suppose qu'il existe un vecteur

x \in E

non nul tel que pour tout

i \in\{1, \ldots, n\}

,

f_{i}(x)=0

.
Montrer que la famille

\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)

est liée dans

E^{*}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \in \mathbb{N}^{*}

et

\varphi

une forme linéaire non nulle sur

E

.
Montrer que pour tout

u \in E \backslash \operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Ker} \varphi

et

\operatorname{Vect}(u)

sont supplémentaires dans E.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)

une famille de vecteurs d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension

n

et

\Phi: \mathcal{L}(E) \rightarrow E^{n}

l'application définie par

\Phi(u)=\left(u\left(e_{1}\right), \ldots, u\left(e_{n}\right)\right)

À quelle condition sur la famille

\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)

l'application

\Phi

est-elle un isomorphisme d'espaces vectoriels?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{6}\right)

tel que

\operatorname{rg} f^{2}=3

.
Quels sont les rangs possibles pour

f

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n>1

(avec

\mathbb{K}=\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

)
Soit

f

un endomorphisme de

E

nilpotent d'ordre

n

.
On note\mathcal{C}(f)=\{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f=f \circ g\} .$
(a) Montrer que $\mathcal{C}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.
(b) Soit $a$ un vecteur de $E$ tel que $f^{n-1}(a) \neq 0_{E}$.Montrer que la famille $\left(a, f(a), \ldots, f^{n-1}(a)\right)$ constitue une base de $E$.
(c) Soit $\varphi_{a}: \mathcal{C}(f) \rightarrow E$ l'application définie par $\varphi_{a}(g)=g(a)$.Montrer que $\varphi_{a}$ est un isomorphisme.
(d) En déduire que\mathcal{C}(f)=\operatorname{Vect}\left(\operatorname{Id}, f, \ldots, f^{n-1}\right) .$$

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Justifier qu'il existe une unique application linéaire de

\mathbb{R}^{3}

dans

\mathbb{R}^{2}

telle que :$$f(1,0,0)=(0,1),
f(1,1,0)=(1,0) \text { et }
f(1,1,1)=(1,1)$
Exprimer $f(x, y, z)$ et déterminer noyau et image de $f$.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \in \mathbb{N}

.
Montrer qu'il existe un endomorphisme

f

tel que

\operatorname{Im} f=\operatorname{Ker} f

si, et seulement si,

n

est pair.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un

\mathbb{C}

-espace vectoriel de dimension finie et

p_{1}, \ldots, p_{m}

des projecteurs de

E

dont la somme vaut

\operatorname{Id}_{E}

.
On note

F_{1}, \ldots, F_{m}

les images de

p_{1}, \ldots, p_{m}

.
Montrer

E=\bigoplus_{k=1}^{m} F_{k} .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

g \circ f \circ g=g \text { et } f \circ g \circ f=f \text {. }

(a) Montrer que

\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} g=E \text {. }

(b) Justifier que

f(\operatorname{Im} g)=\operatorname{Im} f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

f \circ g \circ f=f \text { et } g \circ f \circ g=g \text {. }

Montrer que

\operatorname{Ker} f

et

\operatorname{Im} g

sont supplémentaires dans

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

g \circ f \circ g=f \text { et } f \circ g \circ f=g \text {. }

\\ (a) Montrer que Ker

f=\operatorname{Ker} g

et

\operatorname{Im} f=\operatorname{Im} g

.\\ On pose

F=\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g \text { et } G=\operatorname{Im} f=\operatorname{Im} g \text {. }

\\ (b) Montrer que

E=F \oplus G

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

vérifiant

f^{3}=\operatorname{Id}_{E}

.
Montrer

\operatorname{Ker}\left(f-\operatorname{Id}_{E}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(f-\operatorname{Id}_{E}\right)=E

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n

.
Soient

u

et

v

deux endomorphismes de

E

tels que

E=\operatorname{Im} u+\operatorname{Im} v=\operatorname{Ker} u+\operatorname{Ker} v .

Établir que d'une part,

\operatorname{Im} u

et

\operatorname{Im} v

, d'autre part Ker

u

et

\operatorname{Ker} v

sont supplémentaires dans

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension finie vérifiant

\$\operatorname{rg}\left(f^{2}\right)=\operatorname{rg}(f)\$ <br/> (a) Établir <br/>

\

\operatorname{Im}\left(f^{2}\right)=\operatorname{Im}(f) \text { et } \operatorname{Ker}\left(f^{2}\right)=\operatorname{Ker}(f) \text {. }\$ <br/> (b) Montrer <br/>

\$\operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Im}(f)=E\$\$

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n, f

et

g

deux endomorphismes de E.
(a) En appliquant le théorème du rang à la restriction

h

de

f

à l'image de

g

, montrer que

\operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g-n \leq \operatorname{rg}(f \circ g)

(b) Pour

n=3

, trouver tous les endomorphismes de

E

tels que

f^{2}=0

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

u

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension finie.
Montrer

\forall k, \ell \in \mathbb{N}, \operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{k+\ell}\right) \leq \operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{k}\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Ker} u^{\ell}\right)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

On dit qu'une suite d'applications linéaires

\{0\} \stackrel{u_{0}}{\rightarrow} E_{1} \stackrel{u_{1}}{\rightarrow} E_{2} \stackrel{u_{2}}{\rightarrow} \ldots \stackrel{u_{n}-1}{\rightarrow} E_{n} \stackrel{u_{n}}{\rightarrow}\{0\}

est exacte si on a

\operatorname{Im} u_{k}=\operatorname{Ker} u_{k+1}

pour tout

k \in\{0, \ldots, n-1\}

.
Montrer que si tous les

E_{k}

sont de dimension finie, on a la formule dite d'Euler-Poincaré :

\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} \operatorname{dim} E_{k}=0

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

f \in \mathcal{L}(E)

et

F

un sous-espace vectoriel de

E

.
Montrer

\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f \cap F \geq \operatorname{dim} F-\operatorname{rg} f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in \mathcal{L}(E)

.
Établir que

\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g \circ f)) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} g)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

v \in \mathcal{L}(E, F)

et

u \in \mathcal{L}(F, G)

.
Établir

\operatorname{rg} u+\operatorname{rg} v-\operatorname{dim} F \leq \operatorname{rg}(u \circ v) \leq \min (\operatorname{rg} u, \operatorname{rg} v)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E, F, G, H

des

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f \in \mathcal{L}(E, F)

,

g \in \mathcal{L}(F, G)

,

h \in \mathcal{L}(G, H)

des applications linéaires.
Montrer

\operatorname{rg}(g \circ f)+\operatorname{rg}(h \circ g) \leq \operatorname{rg} g+\operatorname{rg}(h \circ g \circ f) .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in \mathcal{L}(E)

.
Soit

H

un supplémentaire de

\operatorname{Ker} f

dans

E

.
On considère

h: H \rightarrow E

la restriction de

g \circ f

à

H

.
(a) Montrer que

\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} h+\operatorname{Ker} f

(b) Observer que

\operatorname{rg} h \geq \operatorname{rg} f-\operatorname{dim} \operatorname{Ker} g .

(c) En déduire que

\operatorname{dim} \operatorname{Ker}(g \circ f) \leq \operatorname{dim} \operatorname{Ker} g+\operatorname{dim} \operatorname{Ker} f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

(Images et noyaux itérés d'un endomorphisme) Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n \geq 1

et

f

un endomorphisme de

E

.
Pour tout

p \in \mathbb{N}

, on pose

I_{p}=\operatorname{Im} f^{p}

et

N_{p}=\operatorname{Ker} f^{p}

.
(a) Montrer que

\left(I_{p}\right)_{p \geq 0}

est décroissante tandis que

\left(N_{p}\right)_{p \geq 0}

est croissante.
(b) Montrer qu'il existe

s \in \mathbb{N}

tel que

I_{s+1}=I_{s}

et

N_{s+1}=N_{s}

.
(c) Soit

r

le plus petit des entiers

s

ci-dessus considérés. Montrer que

\forall s \geq r, I_{s}=I_{r} \text { et } N_{s}=N_{r}

(d) Montrer que

I_{r}

et

N_{r}

sont supplémentaires dans

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

f+g=\operatorname{Id}_{E} \text { et } \operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g=\operatorname{dim} E .

Montrer que

f

et

g

sont des projecteurs complémentaires.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \in \mathbb{N}^{*}

et

u

un endomorphisme de

E

vérifiant

u^{3}=\tilde{0}

.
Établir

\operatorname{rg} u+\operatorname{rg} u^{2} \leq n

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie
et

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

f+g

bijectif
et

g \circ f=\tilde{0}

.
Montrer que

\operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g=\operatorname{dim} E .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

f

et

g

deux endomorphismes de

E

. Montrer que : (a)

\operatorname{rg}(f \circ g) \leq \min (\operatorname{rg} f, \operatorname{rg} g)

. (b)

\operatorname{rg}(f \circ g) \geq \operatorname{rg} f+\operatorname{rg} g-\operatorname{dim} E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E, F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies et

f, g \in \mathcal{L}(E, F)

Montrer

\operatorname{rg}(f+g)=\operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g) \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\operatorname{Im}(f) \cap \operatorname{Im}(g)=\{0\} <br/> \operatorname{Ker}(f)+\operatorname{Ker}(g)=E\end{array}\right.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

u

et

v

deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie

E

.\\ (a) Montrer:

|\operatorname{rg}(u)-\operatorname{rg}(v)| \leq \operatorname{rg}(u+v) \leq \operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v)

\\ (b) Trouver

u

et

v

dans

\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right)

tels que:

\operatorname{rg}(u+v)<\operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v) .

\\ (c) Trouver deux endomorphismes

u

et

v

de

\mathbb{R}^{2}

tels que:

\operatorname{rg}(u+v)=\operatorname{rg}(u)+\operatorname{rg}(v) .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

où

E

est un espace vectoriel sur

\mathbb{K}

de dimension finie.
Montrer

|\operatorname{rg}(f)-\operatorname{rg}(g)| \leq \operatorname{rg}(f+g) \leq \operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

E

et

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimension finies et

f \in \mathcal{L}(E, F),

g \in \mathcal{L}(F, E)

telles que

f \circ g \circ f=f

et

g \circ f \circ g=g.

Montrer que

f

,

g

,

f \circ g

et

g \circ f

ont même rang.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

f, g \in \mathcal{L}(E)

.
Montrer que

\operatorname{rg}(f+g) \leq \operatorname{rg}(f)+\operatorname{rg}(g)

puis que

|\operatorname{rg}(f)-\operatorname{rg}(g)| \leq \operatorname{rg}(f-g)

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 5

Soient

a_{0}, \ldots, a_{n}

des réels distincts et

\varphi: \mathbb{R}_{2 n+1}[X] \rightarrow \mathbb{R}^{2 n+2}

définie par

\varphi(P)=\left(P\left(a_{0}\right), P^{\prime}\left(a_{0}\right), \ldots, P\left(a_{n}\right), P^{\prime}\left(a_{n}\right)\right)

Montrer que

\varphi

est bijective.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}

des éléments deux à deux distincts de

\mathbb{K}

.
Montrer que l'application

\varphi: \mathbb{K}_{n}[X] \rightarrow \mathbb{K}^{n+1}

définie par

\varphi(P)=\left(P\left(a_{0}\right), P\left(a_{1}\right), \ldots, P\left(a_{n}\right)\right)

est un isomorphisme de

\mathbb{K}

-espace vectoriel.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

un plan vectoriel.
(a) Montrer que

f

endomorphisme non nul est nilpotent si, et seulement si,

\operatorname{Ker} f=\operatorname{Im} f

.
(b) En déduire qu'un tel endomorphisme ne peut s'écrire sous la forme

f=u \circ v

avec

u

et

v

nilpotents.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

f

un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension

n

.
Montrer que

\left(I, f, f^{2}, \ldots, f^{n^{2}}\right)

est liée
et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule

f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension

n \geq 1, f

un endomorphisme nilpotent non nul de

E

et

p

le plus petit entier tel que

f^{p}=\tilde{0}

.
(a) Montrer qu'il existe

x \in E

tel que la famille

\left(x, f(x), f^{2}(x), \ldots, f^{p-1}(x)\right)

soit libre.
(b) En déduire

f^{n}=\tilde{0}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :
(a)

f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}

définie par

f(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y)

(b)

f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}

définie par

f(x, y, z, t)=(2 x+y+z, x+y+t, x+z-t)

(c)

f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}

définie par

f(z)=z+\mathrm{i} \bar{z}(\mathbb{C}

est ici vu comme un

\mathbb{R}

-espace vectoriel).

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f \in \mathcal{L}(E, F)

injective.
Montrer que pour toute famille

\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)

de vecteurs de

E

, on a

\operatorname{rg}\left(f\left(x_{1}\right), \ldots, f\left(x_{p}\right)\right)=\operatorname{rg}\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right) .

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie,

V

un sous-espace vectoriel de

E

et

f \in \mathcal{L}(E)

.
Montrer

V \subset f(V) \Longrightarrow f(V)=V

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

e=\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)

une famille de vecteurs d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

de dimension

n \in \mathbb{N}^{*}

.
On suppose que

\forall f \in E^{*}, f\left(e_{1}\right)=\ldots=f\left(e_{n}\right)=0 \Longrightarrow f=0

Montrer que

e

est une base de

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

f, g \in E^{*}

telles que

\operatorname{Ker} f=\operatorname{Ker} g

.
Montrer qu'il existe

\alpha \in \mathbb{K}

tel que

f=\alpha g

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

H

un hyperplan d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de

E

de dimension quelconque.
On suppose que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

contenant

H

.
Montrer

F=H \text { ou } F=E

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

H

un hyperplan d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de

E

de dimension quelconque.
Soit

a

un vecteur de

E

qui n'appartient pas à

H

.
Montrer

H \oplus \operatorname{Vect}(a)=E \text {. }

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f

et

g

deux endomorphismes d'un espace vectoriel

E

sur

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

vérifiant

f \circ g=\mathrm{Id}

.
(a) Montrer que

\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} f

et

\operatorname{Im}(g \circ f)=\operatorname{Im} g

.
(b) Montrer

E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} g .

(c) Dans quel cas peut-on conclure

g=f^{-1}

?
(d) Caractériser

g \circ f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

p

et

q

deux projecteurs d'un

\mathbb{R}

-espace vectoriel

E

vérifiant

\operatorname{Im} p \subset \operatorname{Ker} q

Montrer que

p+q-p \circ q

est un projecteur et préciser son image et son noyau.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

et

F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels de dimensions finies respectives

n

et

p

avec

n>p

.
On considère

u \in \mathcal{L}(E, F)

et

v \in \mathcal{L}(F, E)

vérifiant

u \circ v=\operatorname{Id}_{F} .

(a) Montrer que

v \circ u

est un projecteur.
(b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soit

E

un

\mathbb{C}

-espace vectoriel de dimension finie et

u \in \mathcal{L}(E)

.
On suppose qu'il existe un projecteur

p

de

E

tel que

u=p \circ u-u \circ p

(a) Montrer que

u(\operatorname{Ker} p) \subset \operatorname{Im} p

et

\operatorname{Im} p \subset \operatorname{Ker} u

.
(b) En déduire

u^{2}=0

(c) Réciproque?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

p

et

q

deux projecteurs d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

vérifiant

p \circ q=0

.
(a) Montrer que

r=p+q-q \circ p

est un projecteur.
(b) Déterminer image et noyau de celui-ci.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

p

un projecteur de

E

.
On pose

q=\mathrm{Id}-p

et on considère

L=\{f \in \mathcal{L}(E) \mid \exists u \in \mathcal{L}(E), f=u \circ p\}

et

M=\{g \in \mathcal{L}(E) \mid \exists v \in \mathcal{L}(E), g=v \circ q\}

.
Montrer que

L

et

M

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathcal{L}(E)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^{2}-4 f+3 \mathrm{Id}=\tilde{0}

.
Montrer

\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id}) \oplus \operatorname{Ker}(f-3 \mathrm{Id})=E

Quelle transformation vectorielle réalise

f

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.
Soit

s

un endomorphisme de

E

involutif, i.e. tel que

s^{2}=\mathrm{Id}

.
On pose

F=\operatorname{Ker}(s-\mathrm{Id})

et

G=\operatorname{Ker}(s+\mathrm{Id})

.
(a) Montrer que

F

et

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

.
(b) Montrer que

s

est la symétrie vectorielle par rapport à

F

et parallèlement à

G

.
Plus généralement, soient

\alpha \in \mathbb{K} \backslash\{1\}

et

f

un endomorphisme de

E

tel que

f^{2}-(\alpha+1) f+\alpha \mathrm{Id}=0

.
On pose

F=\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id})

et

G=\operatorname{Ker}(f-\alpha \mathrm{Id})

.
(c) Montrer que

F

et

G

sont supplémentaires dans

E

.
(d) Montrer que

f

est l'affinité par rapport à

F

, parallèlement à

G

et de rapport

\alpha

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

p, q

deux projecteurs de

E

qui commutent.
Montrer que

p \circ q

est un projecteur de

E

.
En déterminer noyau et image.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

p, q \in \mathcal{L}(E)

.
Montrer l'équivalence entre les assertions :
(i)

p \circ q=p

et

q \circ p=q

;
(ii)

p

et

q

sont des projecteurs de même noyau.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

p \in \mathcal{L}(E)

.
(a) Montrer que

p

est un projecteur si, et seulement si, Id

-p

l'est.
(b) Exprimer alors

\operatorname{Im}(\operatorname{Id}-p)

et

\operatorname{Ker}(\operatorname{Id}-p)

en fonction de

\operatorname{Im} p

et

\operatorname{Ker} p

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie et

F

un sous-espace vectoriel de

\mathcal{L}(E)

stable par composition et contenant l'endomorphisme

\operatorname{Id}_{E}

.
Montrer que

F \cap \mathrm{GL}(E)

est un sous-groupe de

(\mathrm{GL}(E), \circ)

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

À quelle condition une translation et un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

commutent-ils?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

f

un endomorphisme de

E

nilpotent i.e. tel qu'il existe

n \in \mathbb{N}^{*}

pour lequel

f^{n}=0

.
Montrer que Id

-f

est inversible et exprimer son inverse en fonction de

f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f

et

g

deux endomorphes d'un espace vectoriel

E

sur

\mathbb{R}

ou

\mathbb{C}

vérifiant

f \circ g=\mathrm{Id}

.\\ (a) Montrer que

\operatorname{Ker}(g \circ f)=\operatorname{Ker} f

et

\operatorname{Im}(g \circ f)=\operatorname{Im} g

.\\ (b) Montrer

E=\operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Im} g .

(c) Dans quel cas peut-on conclure

g=f^{-1}

?\\ (d) Calculer

(g \circ f) \circ(g \circ f)

et caractériser

g \circ f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E)

tels que

g \circ f \circ g=g \text { et } f \circ g \circ f=f \text {. }

\\ (a) Montrer que

\operatorname{Im} f

et

\operatorname{Ker} g

sont supplémentaires dans

E

. \\ (b) Justifier que

f(\operatorname{Im} g)=\operatorname{Im} f

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

f \in \mathcal{L}(E)

tel que

f^{2}-3 f+2 \mathrm{Id}=0

(a) Montrer que

f

est inversible et exprimer son inverse en fonction de

f

.
(b) Établir que

\operatorname{Ker}(f-\mathrm{Id})

et

\operatorname{Ker}(f-2 \mathrm{Id})

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

un

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension

n \geq 2

. Pour

a \in E

, on note

F_{a}

l'ensemble des endomorphismes

f

de

E

tels que, pour tout

x \in E

, la famille

(x, f(x), a)

est liée.
(a) Déterminer

F_{a}

lorsque

a=0

puis lorsque

n=2

.
(b) Montrer que

F_{a}

est un espace vectoriel pour tout

a \in E

.
(c) Soit

H

un espace vectoriel de dimension finie. Caractériser les endomorphismes

v

de

H

tels que pour tout

h \in H

, la famille

(h, v(h))

soit liée.
(d) Déterminer la dimension de

F_{a}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

f, g \in \mathcal{L}(E, F)

. On suppose

\forall x \in E, \exists \lambda_{x} \in \mathbb{K}, g(x)=\lambda_{x} f(x)

Montrer qu'il existe

\lambda \in \mathbb{K}

tel que

g=\lambda f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f \in \mathcal{L}(E)

tel que pour tout

x \in E, x

et

f(x)

soient colinéaires.
Montrer que

f

est une homothétie vectorielle.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soit

E

et

F

des

\mathbb{K}

-espaces vectoriels. On se donne

f \in \mathcal{L}(E, F)

, une famille

\left(E_{i}\right)_{1 \leq i \leq n}

de sous-espaces vectoriels de

E

et une famille

\left(F_{j}\right)_{1 \leq j \leq p}

de sous-espaces vectoriels de

F

.
(a) Montrer

f\left(\sum_{i=1}^{n} E_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} f\left(E_{i}\right)

(b) Montrer que si

f

est injective et si la somme des

E_{i}

est directe alors la somme des

f\left(E_{i}\right)

est directe.
(c) Montrer

f^{-1}\left(\sum_{j=1}^{p} F_{j}\right) \supset \sum_{j=1}^{p} f^{-1}\left(F_{j}\right)

Montrer que cette inclusion peut être stricte. Donner une condition suffisante pour qu'il y ait égalité.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 4

Soient

u

un endomorphisme d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

et

F

un sous-espace vectoriel de

E

.
(a) Exprimer

u^{-1}(u(F))

en fonction de

F

et de Ker

u

.
(b) Exprimer

u\left(u^{-1}(F)\right)

en fonction de

F

et de

\operatorname{Im} u

.
(c) À quelle condition a-t-on

u\left(u^{-1}(F)\right)=u^{-1}(u(F))

?

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 2

Soient

E, F

deux

\mathbb{K}

-espaces vectoriels,

f \in \mathcal{L}(E, F)

et

A, B

deux sous-espaces vectoriels de

E

.
Montrer

f(A) \subset f(B) \Longleftrightarrow A+\operatorname{Ker} f \subset B+\operatorname{Ker} f

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Montrer que l'application partie entière Ent:

\mathbb{K}(X) \rightarrow \mathbb{K}[X]

est linéaire
et déterminer son noyau.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

\varphi: \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

définie par

\varphi(f)=f^{\prime \prime}-3 f^{\prime}+2 f

.\\ Montrer que

\varphi

est un endomorphisme et préciser son noyau.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soient

a

un élément d'un ensemble

X

non vide et

E

un

\mathbb{K}

-espace vectoriel.
(a) Montrer que

E_{a}: \mathcal{F}(X, E) \rightarrow E

définie par

E_{a}(f)=f(a)

est une application linéaire.
(b) Déterminer l'image et le noyau de l'application

E_{a}

.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

J: \mathcal{C}([0 ; 1], \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}

définie par

J(f)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t

.
Montrer que

J

est une forme linéaire.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Maths

Algèbre

Level 3

Soit

f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}

définie par

f(x, y)=(x+y, x-y)

.
Montrer que

f

est un automorphisme de

\mathbb{R}^{2}

et déterminer son automorphisme réciproque.

START THE EXERCICE

WATCH THE SOLUTION

Nos années

Nos principales matières