Maths Approfondies

Analyse

Level 3

Décrire

\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))

où

a

désigne un élément.

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Analyse

Level 2

Un ensemble est dit décrit en compréhension lorsqu'il réunit les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété.
Un ensemble est dit décrit en extension lorsqu'on cite ses éléments.
Par exemple,

\{n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z}, n=2 k\}

et

\{2 k \mid k \in \mathbb{Z}\}

sont des descriptions respectivement en compréhension et en extension de l'ensemble des entiers pairs.
(a) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

\{1,3,5,7, \ldots\}

.
(b) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble

\{1,10,100,1000, \ldots\}

.
(c) Décrire en extension l'ensemble des nombres rationnels.
(d) Décrire en compréhension l'ensemble ]0;1].
(e) Décrire en compréhension et en extension l'ensemble des valeurs prises par une fonction

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

.
(f) Décrire en compréhension l'ensemble des antécédents d'un réel y par une fonction

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

.

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Analyse

Level 2

Soit

\left(u_{n}\right)

la suite réelle déterminée par

u_{0}=2, u_{1}=3 \text { et } \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3 u_{n+1}-2 u_{n}

Montrer

\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2^{n}+1

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Analyse

Level 2

Le raisonnement suivant est erroné :

Montrons, par récurrence sur

n \in \mathbb{N}^{*}

, la propriété :

\mathcal{P}(n)=n

points deux à deux distincts quelconques du plan sont toujours alignés.
Pour

n=1

et

n=2

, la propriété est vraie.
Supposons la propriété établie au rang

n \geq 2

.
Considérons alors

n+1

points deux à deux distincts

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

.
(HR) Les points

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}

sont alignés sur une droite

\mathcal{D}

.
(HR) Les points

A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

sont alignés sur une droite

\mathcal{D}^{\prime}

.
Or

\mathcal{D}

et

\mathcal{D}^{\prime}

contiennent les deux points distincts

A_{2}

et

A_{n}

, donc

\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}

.
Par suite

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}

sont alignés sur la droite

\mathcal{D}=\mathcal{D}^{\prime}

.
Récurrence établie.

Où est l'erreur?

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Level 3

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N}^{*}, 1 ! 3 ! \ldots(2 n+1) ! \geq((n+1) !)^{n+1}

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Level 3

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}>\frac{3 n}{2 n+1}

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Analyse

Level 3

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction continue.
On considère les assertions suivantes :

P \sim '' \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=0'', Q \sim '' \exists x \in \mathbb{R}, f(x)=0 ''

et

R \sim ''(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)>0) \text { ou }(\forall x \in \mathbb{R}, f(x)<0)'' \text {. }

Parmi les implications suivantes lesquelles sont exactes :
(a)

P \Longrightarrow Q

(b)

Q \Longrightarrow P

(d)

\operatorname{non}(R) \Longrightarrow Q

(c)

Q \Longrightarrow R

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Analyse

Level 3

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

non vide et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction à valeurs réelles définie sur

I

.
Exprimer les négations des assertions suivantes :
(a)

\forall x \in I, f(x) \neq 0

(b)

\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y

(c)

\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in I,|f(x)| \leq M

(d)

\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)

(e)

\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y

(f)

\forall x \in I, f(x)>0 \Longrightarrow x \leq 0

.

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Analyse

Level 2

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction définie sur

I

à valeurs réelles.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes:
(a) la fonction

f

s'annule
(b) la fonction

f

est la fonction nulle
(c)

f

n'est pas une fonction constante
(d)

f

ne prend jamais deux fois la même valeur
(e) la fonction

f

présente un minimum
(f)

f

prend des valeurs arbitrairement grandes
(g)

f

ne peut s'annuler qu'une seule fois.

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Analyse

Level 2

Soient

I

un intervalle de

\mathbb{R}

et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction définie sur

I

à valeurs réelles.
Exprimer verbalement la signification des assertions suivantes :
(a)

\exists C \in \mathbb{R}, \forall x \in I, f(x)=C

(b)

\forall x \in I, f(x)=0 \Longrightarrow x=0

(c)

\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in I, f(x)=y

(d)

\forall x, y \in I, x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y)

(e)

\forall x, y \in I, f(x)=f(y) \Longrightarrow x=y

.

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Analyse

Level 3

On dispose de neuf billes visuellement identiques, elles ont toutes la même masse sauf une.
Comment, à l'aide d'une balance à deux plateaux, démasquer l'intrus en trois pesées?

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Maths Approfondies

Analyse

Level 1

On dispose de neuf billes visuellement identiques, huit d'entre elles ont même masse mais la neuvième est plus lourde.
Comment, en deux pesées sur une balance à deux plateaux, peut-on démasquer l'intrus?

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Analyse

Level 3

Étant donné

P, Q

et

R

trois assertions, vérifier en dressant la table de vérité :
(a)

P

ou

(Q

et

R) \sim(P

ou

Q)

et

(P

ou

R)

(b)

\operatorname{non}(P \Longrightarrow Q) \sim P

et

\operatorname{non}(Q)

.

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Analyse

Level 2

Décrire les parties de

\mathbb{R}

dans lesquelles évoluent

x

pour que les assertions suivantes soient vraies:
(a)

(x>0

et

x<1)

ou

x=0

(b)

x>3

et

x<5

et

x \neq 4

(c)

(x \leq 0

et

x>1

) ou

x=4

(d)

x \geq 0 \Longrightarrow x \geq 2

.

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