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Level 3
Montrer
∀n∈N∗,(2nn)≥22n2n+1\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \left(\begin{array}{c}2 n \\\\n\end{array}\right) \geq \frac{2^{2 n}}{2 n+1}
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Level 3
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}
(a) Justifier ∀1≤k≤n,(nk)=n−k+1k(nk−1)\forall 1 \leq k \leq n,\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\frac{n-k+1}{k}\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)
(b) En déduire que pour tout entier kk vérifiant 1≤k≤n/21 \leq k \leq n / 2 (nk−1)<(nk)\left(\begin{array}{c}n \\k-1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) et pour tout entier kk vérifiant n/2≤k≤n−1n / 2 \leq k \leq n-1 (nk+1)<(nk)\left(\begin{array}{c}n \\k+1\end{array}\right)<\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)
(c) Comment interpréter simplement les inégalités qui viennent d'être obtenues?
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Level 4
Soit n∈Nn \in \mathbb{N} avec n≥2n \geq 2.
(a) On suppose que nn est premier. Montrer ∀k∈{2,…,n−1},n divise (nk) \forall k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { divise } \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(b) Inversement, on suppose que nn est composé. Montrer
∃k∈{2,…,n−1},n ne divise pas (nk) \exists k \in\{2, \ldots, n-1\}, n \text { ne divise pas }\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
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Level 3
Montrer que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} ∑k=1n(−1)k+1k(nk)\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) =∑k=1n1k=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
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Level 3
Calculer pour n,p∈N∗n, p \in \mathbb{N}^{*}, la somme
∑i=0n(∏j=1p(i+j))\sum_{i=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{p}(i+j)\right)
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Level 3
(a) Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculer ∑k=0n(−1)k(nk)\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)
(b) Soient k,ℓ,n∈Nk, \ell, n \in \mathbb{N} tels que ℓ≤k≤n\ell \leq k \leq n. Comparer (nk)(kℓ) et (nℓ)(n−ℓk−ℓ). \left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) \text { et }\left(\begin{array}{l}n \\\ell\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}n-\ell \\k-\ell\end{array}\right) \text {. }
(c) Soit (xn)\left(x_{n}\right) une suite de réels. On pose ∀k∈N,yk=∑ℓ=0k(kℓ)xℓ\forall k \in \mathbb{N}, y_{k}=\sum_{\ell=0}^{k}\left(\begin{array}{l}k \\\ell\end{array}\right) x_{\ell} Montrer que ∀n∈N,xn=∑k=0n(−1)n−k(nk)yk\forall n \in \mathbb{N}, x_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) y_{k}
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Level 3
Développer (a+b+c)n(a+b+c)^{n}.
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Level 4
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}. Calculer∑p=0n(np)jp\sum_{p=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\p\end{array}\right) j^{p}
En déduireA=∑k=0⌊n/3⌋(n3k),<br/>B=∑k=0⌊(n−1)/3⌋(n3k+1) et <br/>C=∑k=0⌊(n−2)/3⌋(n3k+2)A=\sum_{k=0}^{\lfloor n / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k\end{array}\right), <br/> B=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+1\end{array}\right) \text { et } <br/> C=\sum_{k=0}^{\lfloor(n-2) / 3\rfloor}\left(\begin{array}{c}n \\3 k+2\end{array}\right)
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Level 3
Calculer pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} :
(a) S0=∑k=0n(nk)S_{0}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(b) S1=∑k=0nk(nk)S_{1}=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
(c) S2=∑k=0nk2(nk)S_{2}=\sum_{k=0}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)
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Level 3
Exprimer
2×4×⋯×(2n)2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)
puis
1×3×⋯×(2n+1)1 \times 3 \times \cdots \times(2 n+1)
à l'aide de factoriels
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Level 3
Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, simplifier
∏k=1n2k+32k−1\prod_{k=1}^{n} \frac{2 k+3}{2 k-1}
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Level 2
On désire calculer le produit P(x)=∏0≤k≤ncos⁡(2kx)P(x)=\prod_{0 \leq k \leq n} \cos \left(2^{k} x\right) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}.

(a) Commencer par traiter le cas x≡0[π]x \equiv 0[\pi].

(b) Pour x≢0[π]x \not \equiv 0[\pi], simplifier sin⁡(x)P(x)\sin (x) P(x) et exprimer P(x)P(x).
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Level 4
Calculer ∏k=1n(1+1k)\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right)
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Level 1
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :

 a) ∏i=1nαai=α∏i=1nai \text { a) } \prod_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \prod_{i=1}^{n} a_{i}


 b) ∏i=1naibi=∏i=1nai∏i=1nbi \text { b) } \prod_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i} \prod_{i=1}^{n} b_{i}
 c) ∏i=1nai+bi=∏i=1nai+∏i=1nbi ?  \text { c) } \prod_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\prod_{i=1}^{n} a_{i}+\prod_{i=1}^{n} b_{i} \text { ? }
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Level 4
Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}.
Calculer Cn=∑1≤p<q≤n(p+q)C_{n}=\sum_{1 \leq p<q \leq n}(p+q)
en remarquant∑1≤p,q≤np+q=2Cn+2∑p=1np\sum_{1 \leq p, q \leq n} p+q=2 C_{n}+2 \sum_{p=1}^{n} p
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Level 3
A partir des valeurs connues de ∑k=1nk,∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k, \sum_{k=1}^{n} k^{2} et ∑k=1nk3\sum_{k=1}^{n} k^{3}, calculer :
(a) ∑1≤i,j≤n(i+j)2\sum_{1 \leq i, j \leq n}(i+j)^{2}
(c) ∑1≤i,j≤nmin⁡(i,j)\sum_{1 \leq i, j \leq n} \min (i, j)
(b) ∑1≤i<j≤nij\sum_{1 \leq i<j \leq n} i j
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Level 5
Soit n∈Nn \in \mathbb{N}.
Résoudre, lorsqu'elle a un sens, l'équation :
∑k=0ncos⁡(kx)cos⁡kx=0\sum_{k=0}^{n} \frac{\cos (k x)}{\cos ^{k} x}=0
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Level 3
Calculer, pour tout q∈Cq \in \mathbb{C}, la somme ∑k=0nq2k\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}
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Level 3
Calculer, pour tout q∈Cq \in \mathbb{C}, la somme ∑k=0nq2k\sum_{k=0}^{n} q^{2 k}
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Level 4
Calculer, pour tout θ∈R\theta \in \mathbb{R}, la somme ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}.
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Level 4
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et x∈Rx \in \mathbb{R}. \\ Montrer \\ ∑k=0n∣cos⁡(kx)∣≥2n+58\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}
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Level 4
Calculer, pour tout θ∈R\theta \in \mathbb{R}, la somme ∑k=0neikθ\sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k \theta}.
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Level 4
Soient n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*} et x∈Rx \in \mathbb{R}.
Montrer
∑k=0n∣cos⁡(kx)∣≥2n+58\sum_{k=0}^{n}|\cos (k x)| \geq \frac{2 n+5}{8}
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Level 4
(a) Calculer∑k=1pkk!\sum_{k=1}^{p} k k ! (b) Soit p∈Np \in \mathbb{N}. Montrer que pour tout n∈⟦0,(p+1)n \in \llbracket 0,(p+1) ! −1⟧-1 \rrbracket, il existe un uplet (n0,n1,…,np)∈Np+1\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1} tel que∀k∈⟦0;p⟧,0≤nk≤k et n=∑k=0pnkk!\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k ! (c) Justifier l'unicité d'une telle suite.
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Level 3
Montrer
∀n∈N,∑k=0nk!≤(n+1)!\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !
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Level 4

(a) Calculer∑k=1pkk!\sum_{k=1}^{p} k k !
(b) Soit p∈Np \in \mathbb{N}. Montrer que pour tout n∈⟦0,(p+1)n \in \llbracket 0,(p+1) ! −1⟧-1 \rrbracket, il existe un uplet (n0,n1,…,np)∈Np+1\left(n_{0}, n_{1}, \ldots, n_{p}\right) \in \mathbb{N}^{p+1} tel que∀k∈⟦0;p⟧,0≤nk≤k et n=∑k=0pnkk!\forall k \in \llbracket 0 ; p \rrbracket, 0 \leq n_{k} \leq k \text { et } n=\sum_{k=0}^{p} n_{k} k !
(c) Justifier l'unicité d'une telle suite.
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Level 3
Montrer que la suite de terme général un=∑k=1n1n+ku_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
est strictement croissante.
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Level 2
Calculer ∑k=1n(−1)kk\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k
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Level 2

Calculer∑k=1nk(k+1)!\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1) !}
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Level 3
A partir des valeurs connues de ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k et ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2}, calculer :
(a) ∑k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
(b) 1⋅n+2⋅(n−1)+⋯+(n−1)⋅2+n⋅11 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1.
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Level 3
Montrer
∀n∈N,∑k=0nk!≤(n+1)!\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} k ! \leq(n+1) !
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Level 3
Montrer que la suite de terme général un=∑k=1n1n+ku_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}
est strictement croissante.
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Level 2
Établir l'une des trois formules suivantes:
(a) ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
(b) ∑k=1nk2=\sum_{k=1}^{n} k^{2}=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(c) ∑k=1nk3=\sum_{k=1}^{n} k^{3}=n2(n+1)24\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
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Level 3
a) x2−2x+1=0x^2 - 2x +1 = 0
b) 3x−4=5x−123x - 4 = 5x -12
c) 6x2+9=276x^2 + 9 = 27.
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Level 2
Calculer

∑k=1n(−1)kk\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k} k
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Level 3
Résoudre le système{x−ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right.
d'inconnue (x,y,z)∈R3,(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3},
aa désignant un paramètre réel.
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A partir des valeurs connues de ∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} k et ∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^{2}, calculer :
(a) ∑k=1nk(k+1)\sum_{k=1}^{n} k(k+1)
(b) 1⋅n+2⋅(n−1)+⋯+(n−1)⋅2+n⋅11 \cdot n+2 \cdot(n-1)+\cdots+(n-1) \cdot 2+n \cdot 1.
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Level 2
Établir l'une des trois formules suivantes:
(a) ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}
(b) ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
(c) ∑k=1nk3=n2(n+1)24\sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
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Résoudre le système {x−ay+z=2x+(a+1)z=3x+ay+3z=4\left\{\begin{array}{r}x-a y+z=2 \\x+(a+1) z=3 \\x+a y+3 z=4\end{array}\right. d'inconnue (x,y,z)∈R3,a(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, a désignant un paramètre réel.
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Level 3
Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :
a) ∑i=1nα+ai=α+∑i=1nai\sum_{i=1}^{n} \alpha+a_{i}=\alpha+\sum_{i=1}^{n} a_{i}

b) ∑i=1nai+bi=∑i=1nai+∑i=1nbi\sum_{i=1}^{n} a_{i}+b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}
c) ∑i=1nαai=α∑i=1nai\sum_{i=1}^{n} \alpha a_{i}=\alpha \sum_{i=1}^{n} a_{i}
d) ∑i=1naibi=∑i=1nai∑i=1nbi\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sum_{i=1}^{n} b_{i}
e) ∑i=1naiα=(∑i=1nai)α\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{\alpha}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{\alpha}
f) ∑j=1n∑i=1nai,j=∑i=1n∑j=1nai,j\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i, j}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i, j} ?
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Level 3
Résoudre les systèmes d'inconnues (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} :
(a) {x2+2y2=1x2+xy=0\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.
(b) {x2+y2=12xy=1\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.
(c) {x2=yy2=x\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.
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Level 3
Soient aa un réel non nul.
Déterminer les triplets (x,y,z)(x, y, z) de réels non nuls vérifiant :
{x+y+z=a1x+1y+1z=1a\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.
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Level 3
Observer que x=20+1423+20−1423x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}} est solution d'une équation de la forme x3=αx+βx^{3}=\alpha x+\beta avec α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}.
Résoudre cette dernière et déterminer xx.
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Level 3
Résoudre les systèmes d'inconnue (x,y)∈R2(x, y) \in \mathbb{R}^{2} :
(a) {x2+2y2=1x2+xy=0\left\{\begin{aligned} x^{2}+2 y^{2} & =1 \\ x^{2}+x y & =0\end{aligned}\right.
(b) {x2+y2=12xy=1\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & =1 \\ 2 x y & =1\end{aligned}\right.
(c) {x2=yy2=x\left\{\begin{array}{l}x^{2}=y \\ y^{2}=x\end{array}\right.
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Level 3
Soient aa un réel non nul.
Déterminer les triplets (x,y,z)(x, y, z) de réels non nuls vérifiant :
{x+y+z=a1x+1y+1z=1a\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a \\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}\end{array}\right.
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Level 3
Observer quex=20+1423+20−1423x=\sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}}est solution d'une équation de la forme x3=αx+βx^{3}=\alpha x+\beta avec α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}.
Résoudre cette dernière et déterminer xx.
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