Maths Approfondies

Analyse

Level 5

Calculer les intégrales suivantes:
(a)

\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(x+3)}

(b)

\int_{0}^{2} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+1}(x+4)}

(c)

\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}

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Analyse

Level 3

Sur ]

-1 / 2 ;+\infty

[, déterminer

\int \frac{\mathrm{d} x}{(2 x+1) \sqrt{x^{2}+x+1}} .

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :
(a)

\frac{x+1}{\sqrt{2-x^{2}}}

(d)

\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}

(b)

\frac{x}{\sqrt{(x-1)(3-x)}} \sqrt{x-x^{2}+6}

(e)

\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}

(c)

\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité :
(a)

\frac{x}{1+\sqrt{x+1}}

(b)

\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}

(c)

\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}

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Analyse

Level 3

Calculer

\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\operatorname{ch} x}

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l'ensemble de validité : (a)

\frac{\operatorname{th} x}{1+\operatorname{ch} x}

(b)

\frac{\operatorname{ch} x}{1+\operatorname{ch}^{2} x}

(c)

\frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x+\operatorname{ch} x}

(d)

\frac{1}{\operatorname{ch}^{3} x}

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Analyse

Level 4

Déterminer une primitive sur

\mathbb{R}

de la fonction

x \mapsto \frac{1}{3+\cos x}

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l'ensemble de validité :
(a)

\frac{\cos x}{1+\cos ^{2} x}

(c)

\frac{1}{\cos ^{4} x}

(b)

\frac{\sin x}{1+\sin ^{2} x}

(d)

\frac{1}{\cos ^{3} x}

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Analyse

Level 3

Déterminer les primitives des expressions proposées en indiquant l'ensemble de validité :
(a)

\frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}

(b)

\frac{1}{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{x}}

(c)

\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}

(d)

\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}

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Analyse

Level 4

Calculer les intégrales suivantes :
(a)

\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+x+1}

(b)

\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x

(c)

\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x

Calcul de primitives ou d'intégrales se ramenant à une fonction rationnelle

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Analyse

Level 4

Soient

(a, b) \in \mathbb{R}^{2}, \mu \in \mathbb{R}_{+}^{*}

et

f \in \mathcal{C}^{2}([a ; b], \mathbb{R})

telles que

\forall x \in[a ; b],\left|f^{\prime}(x)\right| \geq \mu \text { et } f^{\prime} \text { monotone. }

Montrer :

\left|\int_{a}^{b} \mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \pi f(t)} \mathrm{d} t\right| \leq \frac{1}{\mu \pi}

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Analyse

Level 4

Calculer

\int_{0}^{1} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t

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Analyse

Level 2

Calculer les intégrales suivantes:
(a)

\int_{0}^{1} \arctan t \mathrm{~d} t

(b)

\int_{0}^{1 / 2} \arcsin t \mathrm{~d} t

(c)

\int_{0}^{1} t \arctan t \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 4

Résultat : Calculer les intégrales suivantes :
(a)

\int_{0}^{1} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t

(b)

\int_{1}^{\mathrm{e}} t^{n} \ln t \mathrm{~d} t

avec
(c)

\int_{1}^{\mathrm{e}^{\pi}} \sin (\ln t) \mathrm{d} t

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Analyse

Level 3

Déterminer les primitives suivantes:
(a)

\int\left(t^{2}-t+1\right) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t

(b)

\int(t-1) \sin t \mathrm{~d} t

(c)

\int(t+1) \operatorname{ch} t \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives suivantes:
(a)

\int t \ln t \mathrm{~d} t

(b)

\int t \arctan t \mathrm{~d} t

(c)

\int t \sin ^{3} t \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 3

Déterminer les primitives suivantes:
a)

\int \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{i} t+1}

b)

\int \mathrm{e}^{t} \cos t \mathrm{~d} t

c)

\int t \sin t \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 3

Déterminer les primitives suivantes
(a)

\int \frac{t^{2}}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t

(b)

\int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t

(c)

\int \frac{t}{1+t^{4}} \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 4

Déterminer les primitives suivantes :
(a)

\int \cos t \sin t d t

(b)

\int \tan t \mathrm{~d} t

(c)

\int \cos ^{3} t \mathrm{~d} t

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Analyse

Level 3

Déterminer les primitives suivantes :

(a)

\int t \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t

(b)

\int \frac{\ln t}{t} \mathrm{~d} t

(c)

\int \frac{\mathrm{d} t}{t \ln t}

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