Maths Approfondies

Analyse

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}^{*}

.
(a) Montrer qu'il existe

\left(a_{n}, b_{n}\right) \in \mathbb{N}^{* 2}

tel que

(2+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n} \sqrt{3} \text { et } 3 b_{n}^{2}=a_{n}^{2}-1 .

(b) Montrer que la partie entière de

(2+\sqrt{3})^{n}

est un entier impair.

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Analyse

Level 3

Soit

a \leq b \in \mathbb{R}

.
Établir

\operatorname{Card}([a ; b] \cap \mathbb{Z})=\lfloor b\rfloor+\lfloor 1-a\rfloor

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Analyse

Level 4

Montrer que

\forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor=\lfloor n x\rfloor

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Analyse

Level 3

Montrer

\forall x, y \in \mathbb{R},

\lfloor x\rfloor+\lfloor x+y\rfloor+\lfloor y\rfloor \leq\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 2 y\rfloor

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Analyse

Level 3

Soient

n \geq 2, a_{1}, \ldots, a_{n}

des réels et

b_{1}, \ldots, b_{n}

des réels strictement positifs.
Montrer

\min \left\{\frac{a_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}}\right\} \leq \frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{b_{1}+\cdots+b_{n}} \leq \max \left\{\frac{a_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}

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Analyse

Level 3

Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue

x

réelle :
(a)

\frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}

(c)

3+\sqrt{x-1}<x

(b)

\frac{2 x-1}{x+2} \leq 1

(d)

|2 x-1|+|x-3| \geq 7

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Analyse

Level 3

Soient

x

et

y

deux réels de l'intervalle

[0 ; 1]

.
Montrer

\min \{x y,(1-x)(1-y)\} \leq \frac{1}{4}

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Analyse

Level 4

Soient

\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)

et

\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)

deux suites réelles monotones.
Comparer

\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} y_{k}\right) \text { et } \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}

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Analyse

Level 3

Déterminer tous les couples

(\alpha, \beta) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}

pour lesquels il existe

M \in \mathbb{R}

tel que

\forall x, y>0, x^{\alpha} y^{\beta} \leq M(x+y)

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Analyse

Level 3

Montrer

\forall u, v \geq 0, \text{ }1+\sqrt{u v} \leq \sqrt{1+u} \sqrt{1+v} .

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Level 2

Soient

x, y \in[0 ; 1]

.
Montrer

x^{2}+y^{2}-x y \leq 1

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Analyse

Level 3

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}

et

x_{1}, \ldots, x_{n}

des réels.
On suppose

\sum_{k=1}^{n} x_{k}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}=n

Montrer que les réels

x_{1}, \ldots, x_{n}

sont tous égaux à 1 .

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Analyse

Level 3

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une application telle que :

\begin{aligned}& \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y)=f(x)+f(y) \\& \forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x y)=f(x) f(y) \\& \quad \exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0\end{aligned}

(a)

Calculer

f(0), f(1)

et

f(-1)

.

(b)

Déterminer

f(x)

pour

x \in \mathbb{Z}

puis pour

x \in \mathbb{Q}

.

(c)

Démontrer que

\forall x \geq 0, f(x) \geq 0

. En déduire que

f

est croissante.

(d)

Conclure que

f=\operatorname{Id}_{\mathbb{R}}

.

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Analyse

Level 4

Montrer que

\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}

est un nombre irrationnel.

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Analyse

Level 4

(Irrationalité de

\mathrm{e}^{r}

pour

r \in \mathbb{Q}^{*}

)
(a) Pour

a, b \in \mathbb{N}^{*}

, montrer que la fonction polynomiale

P_{n}(x)=\frac{1}{n !} x^{n}(b x-a)^{n}

et ses dérivées successives prennent en

x=0

des valeurs entières.
(b) Établir la même propriété en

x=a / b

(c) On pose

r=a / b

et pour

n \in \mathbb{N}^{*}

I_{n}=\int_{0}^{r} P_{n}(t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t

Montrer que

I_{n} \rightarrow 0

.
(d) En supposant

\mathrm{e}^{r}=p / q

avec

p, q \in \mathbb{N}^{*}

, montrer que

q I_{n} \in \mathbb{Z}

. Conclure.

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Analyse

Level 2

Montrer que

\left(\frac{2}{3}+\frac{41}{81} \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{1 / 3}+\left(\frac{2}{3}-\frac{41}{81} \sqrt{\frac{5}{3}}\right)^{1 / 3}

est un rationnel.
On conseille d'effectuer les calculs par ordinateur.

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Analyse

Level 2

Soit

f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}

telle que

\forall x, y \in \mathbb{Q}, f(x+y)=f(x)+f(y)

(a) On suppose

f

constante égale

C

quelle est la valeur de

C

? On revient au cas général.
(b) Calculer

f(0)

.
(c) Montrer que

\forall x \in \mathbb{Q}, f(-x)=-f(x)

.
(d) Établir que

\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{Q}, f(n x)=n f(x)

et généraliser cette propriété à

n \in \mathbb{Z}

(e) On pose

a=f(1)

. Montrer que

\forall x \in \mathbb{Q}, f(x)=a x

.

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Analyse

Level 4

Montrer que

\sqrt{2}

n'est pas un nombre rationnel

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