Maths Approfondies

Analyse

Level 3

Soient

a>0

et

u_{n}=(1+a)\left(1+a^{2}\right) \ldots\left(1+a^{n}\right)

(a)

Montrer que si

a \geq 1

alors

u_{n} \rightarrow+\infty

.

(b)

On suppose

0<a<1

. Montrer que la suite

\left(u_{n}\right)

est convergente.
On pourra exploiter la majoration

1+x \leq \mathrm{e}^{x}

valable pour tout

x \in \mathbb{R}

.

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Maths Approfondies

Analyse

Level 3

On pose

u_{n}=\frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2 n)} \text {. }

(a) Exprimer

u_{n}

à l'aide de nombres factoriels.
(b) Montrer que la suite

\left(u_{n}\right)

converge.
(c) On pose

v_{n}=(n+1) u_{n}^{2}

Montrer que la suite

\left(v_{n}\right)

converge. En déduire la limite de la suite

\left(u_{n}\right)

(d) Simplifier

\prod_{k=2}^{2 n}\left(1-\frac{1}{k}\right)

et comparer ce produit à

2 u_{n}^{2}

.
(e) En déduire que la limite

C

de la suite

\left(v_{n}\right)

est strictement positive.

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Maths Approfondies

Analyse

Level 3

(Somme harmonique) Pour tout

n \in \mathbb{N}

, on pose

H_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

Montrer que

\forall n \in \mathbb{N}^{*}, H_{2 n}-H_{n} \geq \frac{1}{2}

En déduire que

\lim _{n \rightarrow \infty} H_{n}=+\infty

.

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Analyse

Level 4

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite réelle convergente.
Étudier la limite de la suite

v_{n}=\sup _{p \geq n} u_{p}

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Analyse

Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite croissante de limite

\ell

. On pose

v_{n}=\frac{u_{1}+\cdots+u_{n}}{n}

(a) Montrer que

\left(v_{n}\right)

est croissante.
(b) Établir que

v_{2 n} \geq \frac{u_{n}+v_{n}}{2}

.
(c) En déduire que

v_{n} \rightarrow \ell

.

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Analyse

Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite de réels strictement positifs. On suppose

u_{n}+\frac{1}{u_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 2.

\\ Étudier la limite de

\left(u_{n}\right)

.

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Analyse

Level 4

(a) Soit

u_{n}=\sum_{k=1}^{n p} \frac{1}{n+k}

où

p \in \mathbb{N}^{*}

est fixé. Montrer que la suite

\left(u_{n}\right)

converge. Sa limite sera notée

\ell

(on ne demande pas ici de la calculer)\\
(b) Soit

f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{C}

de classe

\mathcal{C}^{1}

et telle que

f(0)=0

. Soit

v_{n}=\sum_{k=1}^{n p} f\left(\frac{1}{n+k}\right)

Montrer que

\left(v_{n}\right)

converge. Exprimer sa limite en fonction de

\ell

. \\
(c) Calculer

\ell

en utilisant

f(x)=\ln (1+x)

.\\
(d) Si

f

de

\mathbb{R}_{+}

dans

\mathbb{C}

est continue et vérifie

f(0)=0

, montrer qu'il peut y avoir divergence de la suite

\left(v_{n}\right)

.

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Analyse

Level 3

(a)

Établir que pour tout

x \geq 0

on a

x-\frac{1}{2} x^{2} \leq \ln (1+x) \leq x

(b) En déduire la limite de

u_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)

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Analyse

Level 4

Soient

\alpha>0

et\\

u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{\alpha}+k^{\alpha}}

\\ (a) Montrer que si

\alpha>1

alors

u_{n} \rightarrow 0

tandis que si

\alpha<1

,

u_{n} \rightarrow+\infty

.\\ (b) Montrer que si

\alpha=1

, la suite est monotone et convergente.\\ (c) Toujours dans le cas

\alpha=1

et en exploitant l'encadrement

\ln (1+x) \leq x \leq-\ln (1-x)

valable pour tout

x \in\left[0 ; 1\left[\right.\right.

, établir

u_{n} \rightarrow \ln 2

.

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Analyse

Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite d'entiers naturels deux à deux distincts.
Montrer que

u_{n} \rightarrow+\infty

.

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Analyse

Level 2

Étudier la convergence de la suite

\left(\left\lfloor a^{n}\right\rfloor^{1 / n}\right)

,
où

a>0

.

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Analyse

Level 2

Nature de la suite de terme général

u_{n}=\cos \left(\pi n^{2} \ln (1-1 / n)\right)

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Analyse

Level 3

Soit

a \in \mathbb{R}

et pour

n \in \mathbb{N}

,\\

P_{n}=\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{a}{2^{k}}

\\ Montrer que\\

\sin \left(\frac{a}{2^{n}}\right) P_{n}=\frac{1}{2^{n}} \sin (a)

\\ et déterminer

\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}

.

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Analyse

Level 3

Étudier la convergence de deux suites réelles

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

vérifiant

<br/>

\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)=0

\text { et }

\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\mathrm{e}^{u_{n}}+\mathrm{e}^{v_{n}}\right)=2

$

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Analyse

Level 4

Soit

z \in \mathbb{C}

avec

|z|<1

.
Existence et calcul de

\lim _{n \rightarrow+\infty} \prod_{k=0}^{n}\left(1+z^{2^{k}}\right)

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Analyse

Level 3

Soit

p \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

. Pour

n \in \mathbb{N}^{*}

on pose

u_{n}=\left(\begin{array}{c}n+p \\n\end{array}\right)^{-1}

et

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}

(a) Montrer que

\forall n \in \mathbb{N},(n+p+2) u_{n+2}=(n+2) u_{n+1}

(b) Montrer par récurrence

S_{n}=\frac{1}{p-1}\left(1-(n+p+1) u_{n+1}\right) \text {. }

(c) On pose

\forall n \in \mathbb{N}^{*} v_{n}=(n+p) u_{n}

. Montrer que

\left(v_{n}\right)

converge vers 0 .
(d) En déduire

\lim S_{n}

en fonction de

p

.

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Analyse

Level 3

Déterminer la limite de

u_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n k\end{array}\right)^{-1}

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Analyse

Level 3

Pour tout

n \in \mathbb{N}

, on pose

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}

S_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}

a) Établir que pour tout

p>1

,

\int_{p}^{p+1} \frac{\mathrm{d} x}{x} \leq \frac{1}{p} \leq \int_{p-1}^{p} \frac{\mathrm{d} x}{x}

En déduire la limite de

\left(S_{n}\right)

.
b) Établir que

S_{2 n}^{\prime}=S_{n}

.
En déduire la limite de

\left(S_{n}^{\prime}\right)

.

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Analyse

Level 4

Soit

\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}

une suite de réels strictement positifs. On suppose

\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \ell

(a) Montrer que si

\ell<1

alors

u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow} 0

.
(b) Montrer que si

\ell>1

alors

u_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty

.
(c) Observer que dans le cas

\ell=1

on ne peut rien conclure.

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Analyse

Level 3

Déterminer les limites des sommes suivantes:
(a)

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}

(b)

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

(c)

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k^{2}}

(d)

S_{n}=\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k^{2}}

(e)

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k}

(f)

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}

(g)

S_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} k

!

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Analyse

Level 4

Déterminer par comparaison, la limite des suites

\left(u_{n}\right)

suivantes :
(a)

u_{n}=\frac{\sin n}{n+(-1)^{n+1}}

(d)

u_{n}=\frac{\mathrm{e}^{n}}{n^{n}}

(b)

u_{n}=\frac{n !}{n^{n}}

(c)

u_{n}=\frac{n-(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}

(e)

u_{n}=\sqrt[n]{2+(-1)^{n}}

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Analyse

Level 4

Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
(a)

u_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

(c)

u_{n}=\left(\sin \frac{1}{n}\right)^{1 / n}

(b)

u_{n}=\sqrt[n]{n^{2}}

(d)

u_{n}=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}

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Analyse

Level 4

Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites

\left(u_{n}\right)

suivantes :
(a)

u_{n}=\frac{3^{n}-(-2)^{n}}{3^{n}+(-2)^{n}}

(b)

u_{n}=\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}

(c)

u_{n}=\frac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}}

(d)

u_{n}=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k

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Analyse

Level 3

Soient

K

un réel strictement supérieur à 1 et

\left(\varepsilon_{n}\right)

une suite de réels positifs convergeant vers 0 .
Soit

\left(u_{n}\right)

une suite de réels de

[0 ; 1]

vérifiant

\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq u_{n+1} \leq \frac{u_{n}+\varepsilon_{n}}{K}

La suite

\left(u_{n}\right)

converge-t-elle vers 0 ?

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Analyse

Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite de réels non nuls vérifiant

\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \rightarrow 0

Déterminer la limite de

\left(u_{n}\right)

.

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Analyse

Level 2

Soient

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

deux suites telles que

0 \leq u_{n} \leq 1,0 \leq v_{n} \leq 1 \text { et } u_{n} v_{n} \rightarrow 1

Que dire de ces suites?

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Analyse

Level 2

Soient

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

deux suites réelles telles que

u_{n}^{2}+u_{n} v_{n}+v_{n}^{2} \rightarrow 0

.
Démontrer que les suites

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

convergent vers 0 .

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Analyse

Level 3

Soient

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

deux suites convergentes.
Étudier

\lim _{n \rightarrow+\infty} \max \left(u_{n}, v_{n}\right) .

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Analyse

Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

deux suites réelles telles que

\left(u_{n}+v_{n}\right)

et

\left(u_{n}-v_{n}\right)

convergent.
Montrer que

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

convergent.

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Maths Approfondies

Analyse

Level 2

Soient

(a, b) \in \mathbb{R}^{2},

\left(u_{n}\right)

et

\left(v_{n}\right)

deux suites telles que

\left\{\begin{array}{r}n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq a \text { et } v_{n} \leq b <br/> u_{n}+v_{n} \rightarrow a+b\end{array}\right.

Montrer que

u_{n} \rightarrow a

et

v_{n} \rightarrow b

.

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