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Analyse

Continuité en un point

Exercice

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que pour tout $x, y \in \mathbb{R}$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. On suppose en outre que la fonction $f$ est continue en un point $x_{0} \in \mathbb{R}$. Déterminer $f$.

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue en 0 et en 1 telle que $ \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=f\left(x^{2}\right)$
 Montrer que $f$ est constante.

Étudier la continuité de la fonction $f:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $ f(x)=\sup _{n \in \mathbb{N}} \frac{x^{n}}{n !}$

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $ f(x)=1$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $ 0 $ autrement. 
Montrer que $f$ est totalement discontinue.

Étudier la continuité sur $\mathbb{R}$ de l'application
$ f: x \mapsto\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x\rfloor}$

Soit $f$ une fonction croissante de $[0 ; 1]$ dans $[0 ; 1]$. 
(a) Montrer que s'il existe $x \in[0 ; 1]$ et $k \in \mathbb{N}^{*}$ tels que $f^{k}(x)=x$ alors $x$ est un point fixe pour $f$. 
(b) Montrer que $f$ admet un point fixe.