Maths Approfondies

Analyse

Level 3

Soit

f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}

de classe

\mathcal{C}^{2}

telle que

f^{\prime}(0)=0

.
Montrer qu'il existe

g: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}

de classe

\mathcal{C}^{1}

telle que

\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f(x)=g\left(x^{2}\right)

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Analyse

Level 3

Soit

n \in \mathbb{N}

, montrer que la fonction

f_{n}: x \mapsto \begin{cases}x^{n+1} & \text { si } x \geq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}

est de classe

\mathcal{C}^{n}

sur

\mathbb{R}

.

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Analyse

Level 3

Montrer que la fonction

f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x)= \begin{cases}x^{2} \ln x & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { si } x=0\end{cases}

est de classe

\mathcal{C}^{1}

sur

\mathbb{R}_{+}

.

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Analyse

Level 2

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}

de classe

\mathcal{C}^{1}

et périodique.
Montrer que

f

est lipschitzienne.

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Analyse

Level 3

Soit

f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}

de classe

\mathcal{C}^{1}

.
Montrer que

f

est lipschitzienne.

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Level 3

Calculer de deux façons la dérivée

n

-ième de

x \mapsto x^{2 n}

.
En déduire une expression de

\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)^{2}

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Analyse

Level 4

Soit

f: x \mapsto \arctan x

.
(a) Montrer que pour tout

n \geq 1

f^{(n)}(x)=(n-1) ! \cos ^{n}(f(x)) \sin (n f(x)+n \pi / 2) .

(b) En déduire les racines de

f^{(n)}

pour

n \geq 1

.

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Analyse

Level 2

Montrer que la dérivée d'ordre

n

de

x^{n-1} \mathrm{e}^{1 / x}

est \\

(-1)^{n} x^{-(n+1)} \mathrm{e}^{1 / x}

\\

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Analyse

Level 5

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

définie par

f(x)=\mathrm{e}^{x \sqrt{3}} \sin x

.
Montrer que

f^{(n)}(x)=2^{n} \mathrm{e}^{x \sqrt{3}} \sin \left(x+\frac{n \pi}{6}\right)

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Analyse

Level 3

Calculons la dérivée

n

-ième de la fonction réelle

t \mapsto \cos (t) \mathrm{e}^{t}

.

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Analyse

Level 4

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto \cos ^{3} x

En premier lieu, est-ce que tu pourrais faire quelques précisions sur les notations utilisées.
a) Qu'est-ce que tu entends par dérivée

n

-ième ?
b) Qu'est-ce que signifie le terme

x \mapsto \cos ^{3} x

?
c) Aurais-tu des informations supplémentaires à donner sur cette dérivée ?

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Analyse

Level 4

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto \frac{1}{1-x^{2}}

a)
b)
c)

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Analyse

Level 3

Calculer la dérivée

n

-ième de

x \mapsto \frac{1}{1-x}

,

x \mapsto \frac{1}{1+x}

et

x \mapsto \frac{1}{1-x^{2}}

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Analyse

Level 3

Calculer la dérivée

n

-ième de
(a)

x \mapsto x^{2}(1+x)^{n}

(b)

x \mapsto\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{x}

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