Maths Approfondies

Analyse

Level 4

Soit

f \in \mathcal{C}^{2}\left(\mathbb{R}_{+}, \mathbb{R}\right)

telle que

\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a \in \mathbb{R}

(a) Si

f^{\prime \prime}

est bornée, que dire de

f^{\prime}(x)

quand

x \rightarrow+\infty

?
(b) Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse du a)?

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Analyse

Level 4

Montrer que

\forall x>0, \frac{1}{1+x}<\ln (1+x)-\ln (x)<\frac{1}{x}

\\ En déduire, pour

k \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

,

\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{p=n+1}^{k n} \frac{1}{p}

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Analyse

Level 3

Montrer à l'aide du théorème des accroissements finis que

\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n} \sim-\frac{\ln n}{n^{2}}

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Analyse

Level 2

À l'aide du théorème des accroissements finis déterminer

\lim _{x \rightarrow+\infty}\left((x+1) \mathrm{e}^{\frac{1}{x+1}}-x \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)

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Analyse

Level 3

Soit

f

une fonction de classe

\mathcal{C}^{2}

sur

[a ; a+2 h]

(avec

a \in \mathbb{R}

et

h>0

).
Montrer

\exists c \in] a ; a+2 h\left[, f(a+2 h)-2 f(a+h)+f(a)=h^{2} f^{\prime \prime}(c)\right.

(indice : introduire

\varphi(x)=f(x+h)-f(x)

.)

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Analyse

Level 2

Soit

f: I \rightarrow \mathbb{R}

dérivable.
Montrer que

f

est lipschitzienne si, et seulement si, sa dérivée est bornée.

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Analyse

Level 3

Soit

f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}

de classe

\mathcal{C}^{2}

vérifiant

f(a)=f^{\prime}(a) \text { et } f(b)=f^{\prime}(b)

Montrer qu'il existe

c \in] a ; b[

tel que

f(c)=f^{\prime \prime}(c) \text {. }

Indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire dépendant de

f(x), f^{\prime}(x)

et

\mathrm{e}^{x}

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Analyse

Level 3

Soit

f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}

dérivable vérifiant

f(a)=f(b)=0 \text { et } f^{\prime}(a)>0, f^{\prime}(b)>0 .

Montrer qu'il existe \left.c_{1}, c_{2}, c_{3} \in\] a ; b\left[\right. tels que

c_{1}<c_{2}<c_{3}

et

f^{\prime}\left(c_{1}\right)=f\left(c_{2}\right)=f^{\prime}\left(c_{3}\right)=0

.

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Analyse

Level 3

Soit

a>0

et

f:[0 ; a] \rightarrow \mathbb{R}

une fonction dérivable telle que

f(0)=f(a)=0 \text { et } f^{\prime}(0)=0 \text {. }

\\ (a) Montrer que la dérivée de

x \mapsto f(x) / x

s'annule sur

] 0

;

a

[.\\ (b) En déduire qu'il existe un point autre que l'origine en lequel la tangente à

f

passe par l'origine.

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Analyse

Level 3

Soit

a>0

et

f

une fonction réelle continue sur

[0 ; a]

et dérivable sur

] 0 ; a]

.
On suppose

f(0)=0 \text { et } f(a) f^{\prime}(a)<0

Montrer qu'il existe

c \in] 0 ; a\left[\right.

tel que

f^{\prime}(c)=0

.

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Analyse

Level 3

Soit

f:[0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}

une fonction dérivable telle que

\lim _{+\infty} f=f(0)

Montrer qu'il existe

c>0

tel que

f^{\prime}(c)=0

.

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Analyse

Level 4

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

dérivable telle que

\lim _{-\infty} f=\lim _{+\infty} f=+\infty

Montrer qu'il existe

c \in \mathbb{R}

tel que

f^{\prime}(c)=0

.

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Analyse

Level 2

Soient

n \in \mathbb{N}, a<b \in \mathbb{R}

et

f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}

une fonction

n

fois dérivable.
Montrer que si

f(a)=f^{\prime}(a)=\ldots=f^{(n-1)}(a)=0 \text { et } f(b)=0

alors il existe

c \in] a ; b\left[\right.

tel que

f^{(n)}(c)=0

.

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Analyse

Level 3

Soient

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une fonction deux fois dérivable sur

I

et

a, b, c

trois points distincts de

I

.
Montrer

\exists d \in I, \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(d)

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Analyse

Level 4

On pose

f: x \mapsto\left(\left(x^{2}-1\right)^{n}\right)^{(n)}

.
(a) Montrer que

f

est une fonction polynomiale de degré

n

.
(b) Calculer

f(1)

et

f(-1)

.
(c) Montrer que

f

possède exactement

n

racines distinctes toutes dans

]-1 ; 1[

.

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Analyse

Level 3

Soit

n \in \mathbb{N}

et

f: I \rightarrow \mathbb{R}

une application de classe

\mathcal{C}^{n}

s'annulant en

n+1

points distincts de

I

.
(a) Montrer que la dérivée

n

-ième de

f

s'annule au moins une fois sur

I

.
(b) Soit

\alpha

un réel. Montrer que la dérivée

(n-1)

-ième de

f^{\prime}+\alpha f

s'annule au moins une fois sur

I

.
(indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.)

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Analyse

Level 2

Soit

f:[a ; b] \rightarrow \mathbb{R}

dérivable et vérifiant

f^{\prime}(a)>0

et

f^{\prime}(b)<0

.
Montrer que la dérivée de

f

s'annule.

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Analyse

Level 3

Soit

a, b, c \in \mathbb{R}

.
Montrer qu'il existe

x \in] 0 ; 1[

tel que

4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x=a+b+c .

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Analyse

Level 3

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

dérivable.
On suppose que

f^{\prime}

ne s'annule pas.
Montrer que

f

ne peut être périodique.

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