Maths Approfondies

Algèbre

Level 4

On dit qu'une matrice

A=\left(a_{i, j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

est centro-symétrique si

\forall(i, j) \in \llbracket 1 ; n \rrbracket^{2}, a_{n+1-i, n+1-j}=a_{i, j}

.
(a) Montrer que le sous-ensemble

C

de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
(b) Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

est aussi centro-symétrique.
(c) Soit

A

centro-symétrique de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

et inversible. En considérant l'application

X \mapsto A X

de

C

vers

C

, montrer que

A^{-1}

est centro-symétrique.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Soit

E

l'ensemble des matrices de

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})

de la forme

A=\left(\begin{array}{cc}a+b & b \\-b & a-b\end{array}\right) \text { avec }(a, b) \in \mathbb{K}^{2}

(a)

Montrer que

E

est un sous-espace vectoriel de

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})

, en donner une base.

(b)

Montrer que

E

est un sous-anneau commutatif de

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{K})

.

(c)

Déterminer les inversibles de

E

.

(d)

Déterminer les diviseurs de zéro de

E

c'est-à-dire les matrices

A

et

B \in E

vérifiant

A B=O_{2}

avec

A, B \neq O_{2}

.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

(Matrices de permutation) Soit

n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}

. Pour

\sigma \in \mathcal{S}_{n}

, on note

P(\sigma)=\left(\delta_{i, \sigma(j)}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

appelée matrice de permutation associée à

\sigma

.
(a) Montrer que

\forall\left(\sigma, \sigma^{\prime}\right) \in \mathcal{S}_{n}^{2}, P\left(\sigma \circ \sigma^{\prime}\right)=P(\sigma) P\left(\sigma^{\prime}\right)

(b) En déduire que

E=\left\{P(\sigma) \mid \sigma \in \mathcal{S}_{n}\right\}

est un sous-groupe de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})

isomorphe à

\mathcal{S}_{n}

.
(c) Vérifier que

{ }^{t}(P(\sigma))=P\left(\sigma^{-1}\right)

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Soit

E

l'ensemble des matrices de la forme

M(a, b, c)=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\0 & a & b \\0 & 0 & a\end{array}\right)

avec

a, b, c \in \mathbb{R}

.
Notre objectif est d'établir que l'inverse d'une matrice inversible de

E

appartient encore à

E

, sans pour autant calculer cet inverse.
(a) Montrer que

(E,+,

.

)

est un

\mathbb{R}

-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
(b) Montrer que

(E,+, \times)

est un anneau commutatif.
(c) À quelle condition sur

(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}

, la matrice

A=M(a, b, c)

est-elle inversible dans

\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})

? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l'application

f: E \rightarrow E

définie par

f(X)=A X

, montrer que

A^{-1} \in E

.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Montrer que toute matrice de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

peut s'écrire comme la somme d'une matrice symétrique et d'une matrice nilpotente.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Montrer que

\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})

et

\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 2

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.

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Algèbre

Level 3

Soient

D=\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

et

\varphi: M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mapsto D M-M D

.
(a) Déterminer noyau et image de l'endomorphisme

\varphi

.
(b) Préciser ces espaces quand

D

est à coefficients diagonaux distincts.

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Algèbre

Level 3

Soit

n \geq 2

.
Déterminer les matrices de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 2

Soit

n \geq 2

.
Déterminer les matrices de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

commutant avec toutes les matrices symétriques.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 4

Soit

T \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

une matrice triangulaire supérieure.
Montrer que

T

commute avec sa transposée
si, et seulement si, la matrice

T

est diagonale.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 4

Soit

n \in \mathbb{N}

avec

n \geq 2

.
(a) Montrer que

\left\{A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \mid \forall M \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), A M=M A\right\}=\left\{\lambda \mathrm{I}_{n} \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\}

(b) Soit

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

. On suppose que

\forall M, N \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), A=M N \Longrightarrow A=N M

Montrer qu'il existe

\lambda \in \mathbb{R}

tel que

A=\lambda I_{n}

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Algèbre

Level 2

Soient

n \in \mathbb{N}^{*}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}

des complexes distincts,

A=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)

et

C(A)=\left\{M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), A M=M A\right\}

Montrer que

\left(A^{k}\right)_{0 \leq k \leq n-1}

est une base de

C(A)

.

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Algèbre

Level 4

(a) Quelles sont les matrices de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

commutant avec toutes les matrices de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

?
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de

\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})

.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 2

On suppose que

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

commutent et que

A

est inversible.
Justifier que les matrices

A^{-1}

et

B

commutent.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Soient

A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

où

B

est nilpotente et commute avec

A

.
Montrer que

A

et

A+B

sont simultanément inversibles.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 2

Soit

A=\left(a_{i, j} \right)

\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

.
Montrer que

\forall B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), A B=B A \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}, A=\lambda . I_{n}

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Algèbre

Level 3

Soient

\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}

des éléments de

\mathbb{K}

deux à deux distincts et

D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)

.
Déterminer les matrices de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

commutant avec

D

.

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 4

Soit

A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})

vérifiant

A+A^{-1}=\mathrm{I}_{n}

Pour

k \in \mathbb{N}

, calculer

A^{k}+A^{-k}

.

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Algèbre

Level 3

Résoudre l'équation

X^{2}=A

où

A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\0 & 4 & 2 \\0 & 0 & 16\end{array}\right)

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 2

Soit

M=\left(\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

avec

0 \leq d \leq c \leq b \leq a

et

b+c \leq a+d

.
Pour tout

n \geq 2

, on note

M^{n}=\left(\begin{array}{ll}a_{n} & b_{n} \\c_{n} & d_{n}\end{array}\right)

Démontrer que, pour tout

n \geq 2

,

b_{n}+c_{n} \leq a_{n}+d_{n}

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Algèbre

Level 2

Pour

A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})

, on note

\sigma(A)

la somme des termes de

A

.
On pose

J=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\\vdots & (1) & \vdots \\1 & \cdots & 1\end{array}\right)

Vérifier

J . A . J=\sigma(A) . J

.

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