Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Soient

E_{1}, \ldots, E_{n}

et

F_{1}, \ldots, F_{n}

sous-espaces vectoriels de

E

tel que

E_{i} \subset F_{i}

et

\bigoplus_{i=1}^{n} E_{i}=\bigoplus_{i=1}^{n} F_{i}

Montrer que

E_{i}=F_{i}

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Maths Approfondies

Algèbre

Level 3

Pour

d \in \mathbb{N}

, notons

H_{d}

l'ensemble formé des fonctions polynomiales de

\mathbb{R}^{2}

vers

\mathbb{R}

homogènes de degré

d

i.e. pouvant s'écrire comme combinaison linéaire de fonction monôme de degré

d

.
Montrer que

\left(H_{d}\right)_{0 \leq d \leq n}

est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

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Algèbre

Level 3

Soient

n \in \mathbb{N}

et

E=\mathbb{R}_{n}[X]

.
Pour tout

i \in \llbracket 0 ; n \rrbracket

, on note

F_{i}=\{P \in E \mid \forall j \in \llbracket 0 ; n \rrbracket \backslash\{i\}, P(j)=0\} .

Montrer que les

F_{i}

sont des sous-espaces vectoriels et que

E=F_{0} \oplus \cdots \oplus F_{n}

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Algèbre

Level 3

Soient

F, G, F^{\prime}, G^{\prime}

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

vérifiant

F \oplus G=F^{\prime} \oplus G^{\prime}=E \text { et } F^{\prime} \subset G \text {. }

Montrer

F \oplus F^{\prime} \oplus\left(G \cap G^{\prime}\right)=E .

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Algèbre

Level 2

Soit

F=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0)+f(1)=0\}

.
(a) Montrer que

F

est un sous-espace vectoriel.
(b) Déterminer un supplémentaire de

F

dans

\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

.

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Algèbre

Level 3

Dans l'espace

E=\mathcal{C}([0 ; \pi], \mathbb{R})

on considère les parties

F=\{f \in E \mid f(0)=f(\pi / 2)=f(\pi)\} \text { et } G=\operatorname{Vect}(\sin , \cos )

Montrer que

F

et

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

E

.

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Algèbre

Level 4

Soient

H=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}

et

u=(1, \ldots, 1) \in \mathbb{K}^{n}

.
Montrer que

H

et Vect

(u)

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathbb{K}^{n}

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Algèbre

Level 3

Soient

F=\left\{f \in \mathcal{C}([-1 ; 1], \mathbb{C}) \mid \int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{d} t=0\right\}

et

G=\{f \in \mathcal{C} ([-1 ; 1], \mathbb{C}) \mid f

constante

\}

. \\ Montrer que

F

et

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathcal{C} ([-1 ; 1], \mathbb{C})

.

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Algèbre

Level 3

Soient

F=\left\{f \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0)=f^{\prime}(0)=0\right\}

et

G=\left\{x \mapsto a x+b \mid(a, b) \in \mathbb{R}^{2}\right\}

.
Montrer que

F

et

G

sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de

\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R})

.

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Algèbre

Level 4

Soient

F, G, F^{\prime}, G^{\prime}

des sous-espaces vectoriels de

E

tels que

F \cap G=F^{\prime} \cap G^{\prime}

.
Montrer que

\left(F+\left(G \cap F^{\prime}\right)\right) \cap\left(F+\left(G \cap G^{\prime}\right)\right)=F

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Algèbre

Level 2

Soient

F, G

et

H

trois sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

.
Montrer que

F \subset G \Longrightarrow F+(G \cap H)=(F+G) \cap(F+H)

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Algèbre

Level 2

À quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un sous-espace vectoriel?
a)
b)
c)

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Algèbre

Level 3

Soient

F, G

et

H

des sous-espaces vectoriels d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

. Comparer :
(a)

F \cap(G+H)

et

(F \cap G)+(F \cap H)

.
(b)

F+(G \cap H)

et

(F+G) \cap(F+H)

.

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Algèbre

Level 3

Soient

F

et

G

des sous-espaces vectoriels de

E

.
Montrer

F \cap G=F+G \Longleftrightarrow F=G .

$

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