logo
  • Filtre for math subject All subjects
Soit p]0;1]p \in] 0 ; 1].
(a) Établir que pour tout t0t \geq 0, on a
(1+t)p1+tp(1+t)^{p} \leq 1+t^{p}
(b) En déduire que pour tout x,y0x, y \geq 0,
(x+y)pxp+yp(x+y)^{p} \leq x^{p}+y^{p}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Établir les inégalités suivantes :
(a) x]1;+[,x1+xln(1+x)x\forall x \in]-1 ;+\infty\left[, \frac{x}{1+x} \leq \ln (1+x) \leq x\right.
(b) xR+,ex1+x+x22\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \mathrm{e}^{x} \geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Déterminer toutes les applications f:RRf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dérivables telles que
(x,y)R2,f(x+y)=f(x)+f(y)\forall(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, f(x+y)=f(x)+f(y)
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Soit f:[0;π/2]Rf:[0 ; \pi / 2] \rightarrow \mathbb{R} définie parf(x)=sinx+x.f(x)=\sqrt{\sin x}+x . a) Justifier que ff réalise une bijection vers un intervalle à préciser. b) Puis, justifier que f1f^{-1} est continue c) et dérivable sur cet intervalle.
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Calculer les dérivées des fonctions suivantes f1(x)=arctan(ex),f_{1}(x)=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right), f2(x)=arctan(shx)f_{2}(x)=\arctan (\operatorname{sh} x)  et f3(x)=arctan(thx2).\text { et } f_{3}(x)=\arctan \left(\operatorname{th} \frac{x}{2}\right) . Qu'en déduire?
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :
(a) xxxx \mapsto x^{x}
(b) x(chx)xx \mapsto(\operatorname{ch} x)^{x}
(c) xlnxx \mapsto \ln |x|
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Après avoir déterminé le domaine d'existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes:
(a) xarctanxx2+1x \mapsto \frac{\arctan x}{x^{2}+1}
(b) x1(x+1)2x \mapsto \frac{1}{(x+1)^{2}}
(c) xsinx(cosx+2)4x \mapsto \frac{\sin x}{(\cos x+2)^{4}}
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Sur quelles parties de R\mathbb{R}, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables?
(a) f:x{xsin(1/x) si x00 sinon f: x \mapsto \begin{cases}x \sin (1 / x) & \text { si } x \neq 0 \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
(b) g:x{x2sin(1/x)0g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin (1 / x) \\ 0\end{array}\right.si x0x \neq 0
sinon
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes:
(a) xx2x3x \mapsto \sqrt{x^{2}-x^{3}}
(b) x(x21)arccos(x2)x \mapsto\left(x^{2}-1\right) \arccos \left(x^{2}\right)
12START THE EXERCICE
12WATCH THE SOLUTION