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Maths Appliquées 1

Algèbre

Puissance de matrices

Exercice

Soit$$A=\left(\begin{array}{cccc}1 & \cdots & \cdots & 1 \\0 & 1 & & \vdots \\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$$

$(a)$ Soit $k \in \mathbb{N}^{*}$. Majorer les coefficients de $A^{k}$.

$(b)$ Calculer $A^{-1}$.

$(c)$ Calculer $\left(A^{-1}\right)^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.

On considère la matrice $$A=\left(\begin{array}{cc}-1 & -2 \\3 & 4\end{array}\right)$$ 

(a) Calculer $A^{2}-3 A+2 I$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse. 

(b) Pour $n \geq 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^{n}$ par $X^{2}-3 X+2$. 

(c) En déduire l'expression de la matrice $A^{n}$.

Calculer $A^{n}$ pour$$A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$de deux manières différentes.

On considère la matrice $$A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$ et on pose $B=A-I$. Calculer $B^{n}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et en déduire l'expression de $A^{n}$.