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Analyse

Level 3

Déterminer

<br/>

\lim _{n \rightarrow+\infty}(3 \sqrt[n]{2}-2 \sqrt[n]{3})^{n}

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Analyse

Level 2

Soient

a

et

b

deux réels strictement positifs.
Déterminer

\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}

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Analyse

Level 4

Déterminer les limites suivantes :
(a)

\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{1}{n}

(b)

\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

(c)

\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left((n+1)^{1 / n}-n^{1 / n}\right)

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Analyse

Level 4

Déterminer la limite des suites

\left(u_{n}\right)

suivantes
(a)

u_{n}=

(b)

u_{n}=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^{n}

(c)

u_{n}=\frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}

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Level 3

Montrer que, au voisinage de

+\infty

,

u_{n}=\int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} \sim \frac{1}{n^{2}}

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Level 3

On étudie ici la suite

\left(S_{n}\right)

de terme général

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

.
(a) Établir que pour tout

t>-1, \ln (1+t) \leq t

et en déduire

\ln (1+t) \geq \frac{t}{t+1}

.
(b) Observer que

\ln (n+1) \leq S_{n} \leq \ln n+1

et en déduire un équivalent simple de

S_{n}

.
(c) Montrer que la suite

u_{n}=S_{n}-\ln n

est convergente. Sa limite est appelée constante d'Euler et est usuellement notée

\gamma

.

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Level 4

On pose

S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}

\\ (a) Justifier que

\frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \leq \frac{1}{\sqrt{n}}

\\ (b) Déterminer la limite de

\left(S_{n}\right)

. \\ (c) On pose

u_{n}=S_{n}-2 \sqrt{n}

. Montrer que

\left(u_{n}\right)

converge. \\ (d) Donner un équivalent simple de

\left(S_{n}\right)

. \\ (a)

2 \sqrt{n}-\sqrt{n+1}-

\sqrt{n-1}

\\ (b)

\frac{\ln (n+1)-\ln n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}

\\ (c)

\sqrt[n+1]{n+1}-\sqrt[n]{n}

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Level 4

Pour

n \in \mathbb{N}

, on pose

u_{n}=0 !+1 !+2 !+\cdots+n !=\sum_{k=0}^{n} k !

\\ Montrer que

u_{n} \sim n

!.

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Level 2

Soient

\left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right),\left(w_{n}\right),\left(t_{n}\right)

des suites de réels strictement positifs telles que

u_{n} \sim v_{n} \text { et } w_{n} \sim t_{n}

Montrer que

u_{n}+w_{n} \sim v_{n}+t_{n}

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Level 3

Soit

\left(u_{n}\right)

une suite décroissante de réels telle que

u_{n}+u_{n+1} \sim \frac{1}{n}

\\ (a) Montrer que

\left(u_{n}\right)

converge vers

0^{+}

.\\ (b) Donner un équivalent simple de

\left(u_{n}\right)

.

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Level 3

Trouver un équivalent simple aux suites

\left(u_{n}\right)

suivantes :
(a)

u_{n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}

(b)

u_{n}=

\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}

(c)

u_{n}=

\sqrt{\ln (n+1)-\ln (n)}

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Level 4

Trouver un équivalent simple aux suites

\left(u_{n}\right)

suivantes et donner leur limite :
(a)

u_{n}=\frac{n^{3}-\sqrt{n^{2}+1}}{\ln n-2 n^{2}}

(b)

u_{n}=\frac{2 n^{3}-\ln n+1}{n^{2}+1}

(c)

u_{n}=\frac{n !+\mathrm{e}^{n}}{2^{n}+3^{n}}

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Analyse

Level 4

Trouver un équivalent simple aux suites

\left(u_{n}\right)

suivantes et donner leur limite :\\ (a)

u_{n}=

(n+3 \ln n) \mathrm{e}^{-(n+1)}

\\ (b)

u_{n}=\frac{\ln \left(n^{2}+1\right)}{n+1}

\\ (c)

u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}}{\sqrt[3]{n^{2}-n+1}}

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Analyse

Level 4

Trouver un équivalent simple aux suites

\left(u_{n}\right)

suivantes et donner leur limite :
(a)

u_{n}=

(n+3 \ln n) \mathrm{e}^{-(n+1)}

(b)

u_{n}=\frac{\ln \left(n^{2}+1\right)}{n+1}

(c)

u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}}{\sqrt[3]{n^{2}-n+1}}

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