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Analyse

Level 2

Déterminer

\lim _{x \rightarrow 1^{-}}

\ln (x)

\ln (1-x)

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Level 4

Déterminer les limites suivantes :
(c)

\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{\arctan x-\arctan a}

\operatorname{avec} a>0

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Level 3

Déterminer les limites suivantes :
(a)

\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x+\sin x}{x \ln x}

(b)

\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x+x^{2}}{\ln \left(x+x^{2}\right)}

(c)

\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x^{2}-1}

(a)

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{x^{2}}

(b)

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}

(c)

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / x}-\mathrm{e}}{x}

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Level 3

Déterminer les limites suivantes:
(a)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}+x^{2}}{x-\ln x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \ln x-x}{x+\cos x}

(c)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x \mathrm{e}^{x}-x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}

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Level 3

Soit

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

une fonction décroissante telle que

f(x)+f(x+1) \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{x}

\\ (a) Étudier la limite de

f

en

+\infty

. \\ (b) Donner un équivalent de

f

en

+\infty

.

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Level 3

Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 :
(a)

x(2+\cos x)-3 \sin x

(b)

x^{x}-(\sin x)^{x}

(c)

\arctan (2 x)-

2 \arctan (x)

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Level 4

a)
b)
c)

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Level 3

Déterminer un équivalent de

\ln (\cos x)

quand

x \rightarrow(\pi / 2)^{-}

.
a) Quelle est la première étape ?
b) Comment simplifiez-vous l'équation ?
c) Quel est le résultat final ?

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Level 3

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \rightarrow 0

(a)

\ln (1+\sin x)

(b)

\ln (\ln (1+x))

(c)

(\ln (1+x))^{2}-

(\ln (1-x))^{2}

(a)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\ln x}}{\ln x}

(b)

\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{\ln x}\right)^{\frac{\ln x}{x}}

(c)

\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{\ln x}

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Level 3

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \rightarrow 0

\\ (a)

\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}

\\ (b)

\tan x-\sin x

\\ (c)

\mathrm{e}^{x}+x-1

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Level 3

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \rightarrow+\infty

(a)

\frac{\ln (x+1)}{\ln x}-1

(b)

\sqrt{\ln (x+1)}-\sqrt{\ln (x-1)}

(c)

x \ln (x+1)-(x+1) \ln x

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Level 3

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand

x \rightarrow+\infty

:
(a)

\frac{\sqrt{x^{3}+2}}{\sqrt[3]{x^{2}+3}}

(b)

\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}

(c)

\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}

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