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Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X)=μ et de variance V(X)=V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣X−μ∣≥δ)≤δ2V,
c'est-à-dire, p(X∈/]μ−δ;μ+δ[)≤δ2V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣X−μ∣≥δ)≤δ2V,
c'est-à-dire, p(X∈/]μ−δ;μ+δ[)≤δ2V.
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X)=μ et d'écart-type σ(X)=σ, et k∈N∗. Majorer p(∣X−μ∣≥kσ) et minorer p(∣X−μ∣<kσ).
p(∣X−μ∣≥kσ)≤k21p(∣X−μ∣<kσ)≥1−k21
Énoncer l'inégalité de concentration.
Soit (X1;X2;…;Xn) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ et de variance V, et Mn=nX1+X2+…+Xn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤nδ2V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤nδ2V.
Énoncer la loi faible des grands nombres.
Soit (X1;X2;…;Xn) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ et
Mn=nX1+X2+…+Xn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ fixé, n→+∞limp(∣Mn−μ∣≥δ)=0.
Mn=nX1+X2+…+Xn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ fixé, n→+∞limp(∣Mn−μ∣≥δ)=0.
Comment résoudre l'exercice suivant ? Un sac contient 5 boules où figurent le numéro 1, 3 où figurent le numéro 2, et 2 où figure le numéro 3. Combien de tirages avec remise doit-on effectuer au minimum pour être sûr, au seuil de 95 \%, que la moyenne des numéros obtenus soit comprise entre 1,6 et 1,8 ?
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