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Quelles sont les solutions de l'équation différentielle suivante :

y' = ay \text{ avec } a\ne 0

L'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions de la forme

x \mapsto \lambda \exp(ax) \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}

Quelles sont les solutions de l'équation différentielle suivante :

y' = ay + b \text{ avec } a\ne 0

L'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions de la forme

x \mapsto \lambda \exp(ax) - \frac{b}{a} \text{ où } \lambda \in \mathbb{R}

{\Huge \text{Méthode : }} \\

Rappeler les étapes de la résolution d'une équation différentielle.

On réécrit l'équation différentielle sous la forme

y' = ay + f \\

On détermine l'ensemble des solutions

S_0

de l'équation homogène.
On recherche une solution particulière

y_p

de l'équation.
L'ensemble des solutions est

S_E = \{ x \mapsto y(x) + y_p(x) , y \in S_0 \}

\large\text{Quelle est l'expression de la} \\ \text{solution générale de l'équation} \\ \text{différentielle linéaire d'ordre 1,} \\ \text{normalisée, sans second membre }\\ \ \\ \Large y' + ay = 0 \text{ ?}

\Large y : x \mapsto \lambda\exp(A(x)), \; \lambda \in \mathbb{R} \\ \ \\ \text{où }A \text{ est une primitive} \\ \text{de la fonction }a

.

\large\text{Qu'énonce le théorème de} \\ \text{superposition pour les équations} \\ \text{différentielles linéaires d'ordre 1 ?}