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\large\text{Quelle est l'expression de la} \\ \text{solution générale de l'équation} \\ \text{différentielle linéaire d'ordre 2,} \\ \text{normalisée, sans second membre :}\\ \ \\ \Large (E) : y'' + ay' + by = 0 \text{ ?}

\text{On note }\Delta \text{ le discriminant de}\\ \text{l'équation caractéristique associée}\\ \text{à }(E),\text{ et }r_1, r_2 \text{ les deux solutions,}\\ \text{éventuellement confondues, si elles}\\ \text{existent.}\\

\text{- Si }\Delta > 0,\\ y:x\mapsto\lambda\exp(r_1x)+\mu\exp(r_2x)\\

\text{- Si }\Delta =0,\\ y:x\mapsto (\lambda x+\mu)\exp(r_1x)\\

\text{- Si }\Delta < 0,\\ \text{soit }r_1=a+ib,\\ y:x\mapsto (\lambda\cos(bx)+\mu\sin(bx))\exp(ax)

\large\text{Qu'énonce le théorème de} \\ \text{superposition pour les équations} \\ \text{différentielles linéaires d'ordre 1 ?}

\text{Pour }n=2. \\ \text{Soit }f_1,f_2 \text{ des fonctions continues} \\ \text{sur }\mathbb{R}.

\text{Soit }\lambda_1,\lambda_2 \text{ des réels.} \\ \ \\

\text{Si }x_1,x_2 \text{ sont des solutions des} \\ \text{équations différentielles :}\\ (E_1) : y'' + ay' + by = f_1(x)\\ (E_2) : y'' + ay' + by = f_2(x), \\ \ \\ \text{alors }\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \text{ est solution de} \\ y'' + ay' + by = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x)

.

\\ \ \\ \text{Ce principe se généralise à }n\ge3.

\large\text{Qu'énonce le théorème de Cauchy} \\ \text{sur les équations différentielles} \\ \text{d'ordre 2 ?}

\large\text{Le problème de Cauchy} \\ \ \\ \Large(E) : y''+ ay' + by = f(x) \\ \text{et }y(x_0) = \alpha, \; \; y'(x_0) = \beta \\ \ \\ \large \text{admet une unique solution.}

\LARGE\text{Méthode : }\\ \large\text{Comment résout-on une équation} \\ \text{différentielle }(E) \text{ d'ordre 2} \\ \text{normalisée avec second} \\ \text{membre ?}

\text{- On résout d'abord l'équation} \\ \text{homogène (sans second membre)} \\ \text{associée.} \\ \text{- On cherche une solution} \\ \text{particulière de }(E)

\\ \ \\ \text{La solution générale de }(E) \text{ est la} \\ \text{somme d'une solution particulière}\\ \text{de }(E) \text{ et de la solution générale} \\ \text{de l'équation homogène associée.}

\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Sous quelle forme doit-on}\\ \text{chercher une solution particulière}\\ \text{de l'équation différentielle linéaire}

\large\\ \text{d'ordre 2 avec second membre}\\ \text{de la forme exponentielle :}\\ \ \\ (E):y''+ay'+by=\exp(mx)

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\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Sous quelle forme doit-on}\\ \text{chercher une solution particulière}\\ \text{de l'équation différentielle linéaire}\\ \text{d'ordre 2 avec second membre}\\ \text{de la forme sinus ou cosinus :}\\

\large (E_1):y''+ay'+by=\cos(mx)\\ (E_2):y''+ay'+by=\sin(mx)

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