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Qu'est-ce que le théorème 26 affirme sur une fonction continue f sur un intervalle I ?

L'application

x \\mapsto \\int_{a}^{x} f(t) dt

est une primitive de f, et c'est l'unique primitive s'annulant en a.

Quel est le corollaire 27 du théorème 26 ?

Pour f continue sur I et F sa primitive,

\\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)

pour tout (a,b) dans

I^2

Que dit le corollaire 28 pour une fonction

f \\in \\mathcal{C}^1(I, \\mathbb{IK})

Pour tout (a,b) dans

I^2

f(b) - f(a) = \\int_{a}^{b} f'(t) dt

Quelle est l'inégalité des accroissements finis (corollaire 29) ?

f \\in \\mathcal{C}^1(I, \\mathbb{IK})

|f'| \\leq M

, alors

\\forall(x,y) \\in I^2

|f(x) - f(y)| \\leq M|x-y|

Quelle est la formule d'intégration par parties (proposition 30) ?

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Énoncez la formule de changement de variable (théorème 31).

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Quelle est la conséquence du théorème 26 sur l'unicité de la primitive ?

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Comment peut-on retrouver les résultats sur les fonctions paires et impaires ?

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Comment peut-on retrouver l'invariance par translation ?

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Quelle est la condition sur f et u pour appliquer la formule de changement de variable ?

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Qu'est-ce qu'une suite dominée par une autre suite ?

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Comment définit-on une suite négligeable devant une autre ?

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Quelle est la définition de deux suites équivalentes ?

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Comment caractériser

u_n = O(v_n)

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Quelle est la caractérisation de

u_n = o(v_n)

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Comment caractériser

u_n \\sim v_n

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Quelle propriété fondamentale a la relation

\\sim

sur l'ensemble des suites ?

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Que peut-on dire de la limite d'une suite équivalente à une autre ?

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Quelle est la règle pour le produit de suites équivalentes ?

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Quelle est la règle pour le quotient de suites équivalentes ?

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Que se passe-t-il lors de la substitution d'un équivalent de fonctions dans une suite ?

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Qu'est-ce qu'un développement limité à l'ordre n en

x_0

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Comment s'écrit un développement limité à l'ordre n en 0 ?

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Quelle est la partie régulière d'un développement limité ?

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Qu'est-ce que le terme prépondérant d'un développement limité ?

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Quel est le lien entre dérivabilité et développement limité à l'ordre 1 ?

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Quelle est la formule de Taylor-Young à l'ordre n en 0 ?

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Comment obtenir le DL d'une primitive à partir du DL de la fonction ?

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Donnez le DL à l'ordre n de

e^x

en 0

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Donnez le DL à l'ordre n de

\\cos x

en 0

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Donnez le DL à l'ordre n de

\\sin x

en 0

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Donnez le DL à l'ordre n de (1+x)^\\alpha en 0

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Comment obtenir un DL en

x_0

à partir d'un DL en 0 ?

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Qu'est-ce qu'un développement limité ?

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Quelle est la formule de Taylor-Young à l'ordre n ?

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Comment obtenir le DL d'une somme de fonctions ?

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Comment obtenir le DL d'un produit de fonctions ?

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Quelle est la formule du DL de

rac{1}{1-u}

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Comment obtenir le DL d'un quotient

rac{f}{g}

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Quelle précaution prendre pour le DL d'une fonction composée ?

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Comment obtenir le DL de

ln(f(x))

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Comment obtenir le DL de

e^{f(x)}

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Comment obtenir le DL de

(u(x))^{v(x)}

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Que permet de faire un développement limité ?

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Comment obtenir un équivalent d'un quotient de deux fonctions ?

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Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction admette un extremum en un point

x_0

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f

admet un DL à l'ordre 2 en

x_0

de la forme

f(x) = f(x_0) + \\gamma(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)

avec

\\gamma > 0

, que peut-on dire ?

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Comment déterminer la position d'une courbe par rapport à sa tangente ?

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Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?

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Comment obtenir un développement asymptotique ?

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Quelle est la condition pour que

f

admette un maximum local en

x_0

selon le corollaire 18 ?

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Comment déterminer l'allure d'une courbe au voisinage d'un point à l'aide d'un DL ?

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Que signifie l'existence d'un DL à l'ordre 1 en

x_0

pour une fonction ?

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Comment exprimer

\\int_{a}^{b} f(t) dt

en termes d'une primitive F de f ?

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f

est continue sur

[a,b]

g(x) = \\int_{a}^{x} f(t) dt

, que vaut

g'(x)

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Comment peut-on utiliser l'intégration par parties pour calculer

\\int x e^x dx

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Quelle est la primitive de

f(x) = \\sin(ax)

s'annulant en 0 ?

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Comment utiliser le changement de variable

u = \\sin x

pour calculer

\\int \\cos^2 x dx

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f

est continue sur

[0,1]

\\int_{0}^{1} f(t) dt = 0

, que peut-on dire de

f

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Comment montrer que

\\int_{0}^{\\pi} \\sin x dx = 2

en utilisant une intégration par parties ?

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Quelle inégalité peut-on déduire de l'inégalité des accroissements finis pour

f(x) = \\ln(1+x)

sur

[0,1]

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Comment utiliser le changement de variable

t = \\tan(\\frac{x}{2})

pour calculer

\\int_{0}^{\\pi} \\frac{dx}{a+\\cos x}

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f

est continue et

\\int_{a}^{b} f(x) dx = \\int_{a}^{b} xf(x) dx = 0

, que peut-on dire de

f

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Comment démontrer que

n+1 \\sim n

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Pourquoi

a^n = o(n!)

pour tout

a \\in \\mathbb{R}

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Comment trouver un équivalent de

\\binom{n}{6}

quand

n

tend vers l'infini ?

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Pourquoi ne peut-on pas conclure que

(1+rac{1}{n})^n \\sim 1^n = 1

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Comment trouver un équivalent de

\\ln(\\cos(rac{1}{n}))

quand

n

tend vers l'infini ?

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u_n = O(v_n)

v_n = O(w_n)

, que peut-on dire de

u_n

par rapport à

w_n

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Comment prouver que deux suites ayant la même limite finie non nulle sont équivalentes ?

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Pourquoi l'équivalence de suites préserve-t-elle le signe à partir d'un certain rang ?

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Comment utiliser la proposition d'encadrement pour trouver un équivalent d'une suite ?

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Quelle précaution faut-il prendre lors de la substitution d'un équivalent dans une fonction ?

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Comment obtenir le développement limité de

f+g

à l'ordre n en 0 à partir de ceux de f et g ?

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Quelle est la méthode pour obtenir le DL d'un produit

f \\times g

à l'ordre n en 0 ?

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Comment obtenir le DL de

rac{1}{1-u}

à l'ordre n en 0 si

u \\to 0

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Quelle précaution faut-il prendre pour le DL d'un quotient

rac{f}{g}

si g tend vers 0 ?

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Comment obtenir le DL de

\\ln(1+\\sin x)

à l'ordre 4 en 0 ?

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Quelle transformation appliquer pour le DL de

\\ln(1+e^x)

à l'ordre 3 en 0 ?

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Comment obtenir le DL de

\\ln(f(x))

f(x) \\to \\ell > 0

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Quelle méthode pour le DL de

e^{f(x)}

f(x) \\to \\ell

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Comment traiter le DL d'une expression de la forme

(u(x))^{v(x)}

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Quelle est la stratégie pour optimiser le calcul du DL d'un produit ?

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Comment déterminer un équivalent d'une fonction à partir de son développement limité ?

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Quelle est la méthode efficace pour obtenir un équivalent d'un quotient de fonctions ?

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Comment utiliser un DL pour étudier l'existence d'un extremum local ?

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Comment déterminer la nature d'un extremum local à partir d'un DL d'ordre 2 ?

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Comment utiliser un DL pour étudier la position d'une courbe par rapport à sa tangente ?

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Comment déterminer une asymptote oblique à partir d'un développement asymptotique ?

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Que signifie un terme en

o(x-x_0)

dans un DL à l'ordre 1 en

x_0

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Comment utiliser un DL pour étudier la limite d'une fonction composée en un point ?

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Quelle est l'utilité d'un développement asymptotique à la précision

\\frac{1}{x}

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Comment déterminer la position d'une courbe par rapport à son asymptote oblique ?

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