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Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X)=μ et de variance V(X)=V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a :
p(∣X−μ∣≥δ)≤δ2V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a :
p(∣X−μ∣≥δ)≤δ2V.
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X)=μ et d'écart-type σ(X)=σ, et k∈N∗.
Majorer p(∣X−μ∣≥kσ) et minorer p(∣X−μ∣<kσ).
p(∣X−μ∣≥kσ)≤k21
p(∣X−μ∣<kσ)≥1−k21
p(∣X−μ∣<kσ)≥1−k21
Énoncer l'inégalité de concentration.
Soit (X1;X2;…;Xn) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ et de variance V, et Mn=nX1+X2+…+Xn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤nδ2V.
Pour tout réel strictement positif δ, on a : p(∣Mn−μ∣≥δ)≤nδ2V.
Énoncer la loi faible des grands nombres.
Soit (X1;X2;…;Xn) un échantillon de variables aléatoires d'espérance μ et Mn=nX1+X2+…+Xn la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel strictement positif δ fixé, n→+∞limp(∣Mn−μ∣≥δ)=0.
Pour tout réel strictement positif δ fixé, n→+∞limp(∣Mn−μ∣≥δ)=0.
Meˊthode :
Comment résoudre l'exercice suivant ? Un sac contient 5 boules où figurent le numéro 1, 3 où figurent le numéro 2, et 2 où figure le numéro 3. Combien de tirages avec remise doit-on effectuer au minimum pour être sûr, au seuil de 95%, que la moyenne des numéros obtenus soit comprise entre 1,6 et 1,8 ?
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Avec N=10000, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Qu'est-ce que la loi des grands nombres nous indique sur la relation entre la taille de l'échantillon et l'écart entre la moyenne et l'espérance ?
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Pour N=100, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Pour N=1000, quel est le majorand de la probabilité que l'écart entre Mn et 3 soit supérieur ou égal à 0,1 ?
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Si N tend vers l'infini, à quoi tend la probabilité que Mn-3 soit supérieur ou égal à 0,1, selon la loi des grands nombres ?
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Qu'est-ce qui se rapproche de plus en plus de 0 lorsque N augmente, selon l'énoncé ?
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Qu'est-ce qu'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli?
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Quelle est l'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,2?
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Quelle est la variance d'une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 0,2?
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Quelle est l'inégalité utilisée pour déterminer la taille de l'échantillon dans ce problème?
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Quelle est la taille minimale de l'échantillon pour que la probabilité que la moyenne appartienne à l'intervalle 0,03, 0,37 soit supérieure à 0,95?
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A quoi correspond le Δ dans l'inégalité de concentration?
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