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Soit une applicationf:E→F. Deˊfinir le graphe Γ de f\Large\text{Soit une application}\\ f : E \rightarrow F.\\ \ \\ \text{Définir le graphe }\Gamma \text{ de }f.
Γ={(x,f(x))∣x∈E}\LARGE \Gamma=\{(x, f(x)) \mid x \in E\}
Soit A⊂E. Deˊfinir la fonction indicatricede A, noteˊe 1A.\Large\text{Soit }A \subset E.\\ \ \\ \text{Définir la fonction indicatrice} \\ \text{de }A, \text{ notée }\mathbf{1}_A.
1A(x)=1 si x∈A                  0 sinon                 \Large \mathbf{1}_A(x)= 1 \text { si } x \in A \\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\;\; 0 \text { sinon }\;\;\;\;\;\;\;\;
Soit E un ensemble. Deˊfinir la fonction identiteˊde E, noteˊ IdE.\Large\text{Soit }E\text{ un ensemble.} \\ \ \\ \text{Définir la fonction identité} \\ \text{de }E,\text{ noté }Id_E.
IdE:E⟶E                x⟼x\huge Id_E : E \longrightarrow E \\ \;\;\;\;\;\;\;\;x \longmapsto x
Soit f une applicationde E dans F, soit A⊂E. Deˊfinir la restriction de faˋ A noteˊe f∣A\Large\text{Soit }f\text{ une application} \\ \text{de }E\text{ dans }F, \text{ soit }A\subset E.\\ \ \\ \text{Définir la restriction de }f \\ \text{à }A \text{ notée }f_{|A}.
f∣A est l’applicationde A dans F telle que : ∀x∈A,f∣A(x)=f(x)\Large f_{|A} \text{ est l'application} \\ \text{de }A \text{ dans }F \text{ telle que :} \\ \ \\ \Large \forall x \in A, f_{|A}(x) = f(x).
Soit f une applicationde A dans F, soit A⊂E. Deˊfinir un prolongementde f aˋ E.\Large \text{Soit }f\text{ une application} \\ \text{de }A \text{ dans }F, \text{ soit }A\subset E.\\ \ \\ \text{Définir un prolongement} \\ \text{de }f \text{ à }E.
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Soit f une applicationde E dans F, soit A⊂E. Deˊfinir l’image directe deA par f noteˊe f(A)\Large\text{Soit }f \text{ une application} \\ \text{de }E \text{ dans }F, \text{ soit }A\subset E.\\ \ \\ \text{Définir l'image directe de}\\A \text{ par } f \text{ notée }f(A).
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Soit f une applicationde E dans F, soit B⊂F. Deˊfinir l’image reˊciproquede B par f noteˊe f#(B)ou f−1(B).\Large\text{Soit }f \text{ une application}\\ \text{de }E\text{ dans }F,\text{ soit }B\subset F.\\ \ \\ \text{Définir l'image réciproque}\\ \text{de }B\text{ par }f\text{ notée }f^{\#}(B)\\ \text{ou }f^{-1}(B).
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Meˊthode :Soit f:R⟶R                        x⟼x2et soit A=[−3,1]. Deˊterminer f(A) et f−1(A)\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large \text{Soit }f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x \longmapsto x^2 \\ \text{et soit }A=[-3,1]. \\ \ \\ \text{Déterminer }f(A) \text{ et }f^{-1}(A)
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Soient E,F et G troisensembles, f:E→F et g:F→G. Deˊfinir l’applicationcomposeˊe de f et gnoteˊe g∘f.\Large\text{Soient }E, F\text{ et }G \text{ trois} \\ \text{ensembles, }\\ f: E \rightarrow F \text{ et } g: F \rightarrow G.\\ \ \\ \text{Définir l'application} \\ \text{composée de }f \text{ et }g \\ \text{notée }g \circ f.
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Meˊthode :Soient f:x⟼x2−3                      g:x⟼2x+5. Deˊterminer et simplifierf∘g.\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Soient }f : x \longmapsto x^2 -3 \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g : x \longmapsto 2x + 5.\\ \ \\ \text{Déterminer et simplifier}\\ f \circ g.
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition del’injectiviteˊ de f, et traduirecela en terme de condition surles solutions d’une eˊquation.\large\text{Soit }f: E \rightarrow F. \\ \ \\ \large \text{Donner la définition de} \\ \text{l'injectivité de }f, \text{ et traduire} \\ \text{cela en terme de condition sur} \\ \text{les solutions d'une équation.}
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition de lasurjectiviteˊ de f, et traduirecela en terme de condition surles solutions d’une eˊquation.\large\text{Soit }f: E \rightarrow F.\\ \ \\ \text{Donner la définition de la} \\ \text{surjectivité de }f, \text{ et traduire} \\ \text{cela en terme de condition sur} \\ \text{les solutions d'une équation.}
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Soit f:E→F. Donner la deˊfinition de labijectiviteˊ de f, et traduire celaen terme de condition sur lessolutions d’une eˊquation.\large\text{Soit }f: E \rightarrow F. \\ \ \\ \text{Donner la définition de la} \\ \text{bijectivité de }f, \text{ et traduire cela} \\ \text{en terme de condition sur les} \\ \text{solutions d'une équation.}
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f et g deux applications de N dans N tel que : f(n)=n+1g(n)=n−1 sur N∗avec g(0)=0 \large f \text{ et }g\text{ deux applications }\\ \text{de }\mathbb{N}\text{ dans }\mathbb{N}\text{ tel que :}\\ \ \\ f(n)=n+1\\ g(n)=n-1\text{ sur }\mathbb{N}^*\\ \text{avec }g(0)=0\\ \ \\ Deˊterminer si f et g sontinjectives et/ou surjectives.\large\text{Déterminer si }f\text{ et }g\text{ sont} \\ \text{injectives et/ou surjectives.}
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Meˊthode :Soit f:D⟶R,  D⊂R. Comment deˊmontrer la proprieˊteˊsuivante : "si f est strictementmonotone, alors f est injective".\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Soit }f : D \longrightarrow \mathbb{R}, \; D \subset \mathbb{R}. \\ \ \\ \text{Comment démontrer la propriété} \\ \text{suivante : "si }f \text{ est strictement} \\ \text{monotone, alors }f\text{ est injective".}
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Que dire de la composeˊede deux fonctions injectives,surjectives, ou bijectives.\Large\text{Que dire de la composée} \\ \text{de deux fonctions injectives,} \\ \text{surjectives, ou bijectives.}
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Soient f et g deux applications. Que peut-on conclure sur fet/ou g si l’on sait que g∘fest injective ou si g∘f estsurjective.\large\text{Soient }f \text{ et }g \text{ deux applications.} \\ \ \\ \text{Que peut-on conclure sur }f \text{}\\ \text{et/ou }g \text{ si l'on sait que }g \circ f \\ \text{est injective ou si }g \circ f \text{ est} \\ \text{surjective.}
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Soit f:E→F bijective. Deˊfinir l’applicationreˊciproque de f noteˊe f−1.\Large\text{Soit }f : E \rightarrow F\text{ bijective.} \\ \ \\ \text{Définir l'application} \\ \text{réciproque de }f \text{ notée }f^{-1}.
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Soit f:E→F bijective. Deˊterminer f−1∘fet f∘f−1.\Large\text{Soit }f : E \rightarrow F\text{ bijective.} \\ \ \\ \text{Déterminer }f^{-1} \circ f \\\text{et }f \circ f^{-1}.
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Soit f:E→F              g:F→Gdeux applications bijectives. Deˊterminer (g∘f)−1.\Large\text{Soit }f : E \rightarrow F \\ \;\;\;\;\;\;\;g : F \rightarrow G \\ \text{deux applications bijectives.} \\ \ \\ \text{Déterminer }(g\circ f)^{-1}.
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Soit f:E→E. Donner les deux deˊfinitionseˊquivalentes du fait que fsoit une involution.\Large\text{Soit }f : E \rightarrow E.\\ \ \\ \text{Donner les deux définitions} \\ \text{équivalentes du fait que }f \\ \text{soit une involution.}
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Eˊnoncer les proprieˊteˊs dereˊflexiviteˊ, de symeˊtrie, d’anti-symeˊtrie et de transitiviteˊ d’unerelation binaire.\large\text{Énoncer les propriétés de} \\ \text{réflexivité, de symétrie, d'anti-} \\ \text{symétrie et de transitivité d'une} \\ \text{relation binaire.}
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Donner la deˊfinition d’une relationd’eˊquivalence ainsi sur d’uneclasse d’eˊquivalence.\large\text{Donner la définition d'une relation} \\ \text{d'équivalence ainsi sur d'une} \\ \text{classe d'équivalence.}
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Soit E un ensemble muni d’unerelation d’eˊquivalence R. Que dire des classesd’eˊquivalence de R ?\large\text{Soit }E \text{ un ensemble muni d'une} \\ \text{relation d'équivalence }\mathcal{R}. \\ \ \\ \text{Que dire des classes} \\ \text{d'équivalence de }\mathcal{R} \text{ ?}
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Donner la deˊfinition d’une relationd’ordre. Que signifie de dire que l’ordre estpartiel ou total ?\large\text{Donner la définition d'une relation} \\ \text{d'ordre.} \\ \ \\ \text{Que signifie de dire que l'ordre est} \\ \text{partiel ou total ?}
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Qu'est-ce qu'une application ?
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Comment note-t-on une application f de E dans F ?
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Qu'est-ce que le graphe d'une application f ?
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Qu'est-ce qu'une fonction indicatrice ?
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Qu'est-ce que l'image directe d'une partie A par f ?
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Qu'est-ce que l'image réciproque d'une partie B par f ?
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Qu'est-ce qu'une application injective ?
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Qu'est-ce qu'une application surjective ?
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Qu'est-ce qu'une application bijective ?
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Que signifie fcircgf \\circ g ?
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Quelle est la propriété de la composition d'applications ?
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Qu'est-ce qu'une permutation ?
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Comment note-t-on l'ensemble des permutations de E ?
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Qu'est-ce qu'une application involutive ?
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Qu'est-ce qu'une relation binaire sur un ensemble E ?
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Quelles sont les propriétés d'une relation d'équivalence ?
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Qu'est-ce qu'une classe d'équivalence pour une relation d'équivalence R ?
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Que forment les classes d'équivalence d'une relation d'équivalence ?
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Quelles sont les propriétés d'une relation d'ordre ?
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Qu'est-ce qu'un ordre total ?
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Qu'est-ce qu'un ordre partiel ?
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Donnez un exemple d'ordre total
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Donnez un exemple d'ordre partiel
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Qu'est-ce que le plus grand élément d'une partie A d'un ensemble ordonné ?
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Quelle est la propriété fondamentale de mathbbN\\mathbb{N} muni de son ordre naturel ?
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Que représente AcupBA \\cup B dans mathcalP(E)\\mathcal{P}(E) muni de l'inclusion ?
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Que représente AcapBA \\cap B dans mathcalP(E)\\mathcal{P}(E) muni de l'inclusion ?
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Soit f une application injective de E dans F. Que peut-on dire sur les cardinaux de E et F ?
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Quelle est la relation entre les cardinaux de E et F si f est une application surjective de E dans F ?
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Si f est une application bijective de E dans F, quelle est la relation entre Card(E) et Card(F) ?
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Comment peut-on prouver qu'une application n'est pas injective ?
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Comment peut-on démontrer qu'une application n'est pas surjective ?
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Si f est une application bijective de E dans F, que peut-on dire de f−1circff^{-1} \\circ f et fcircf−1f \\circ f^{-1} ?
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Si f et g sont deux applications bijectives, que peut-on dire de leur composée g ∘ f ?
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Quelle est la caractérisation d'une application involutive ?
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Comment peut-on prouver qu'une application f est bijective sans montrer séparément l'injectivité et la surjectivité ?
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Si f est une application bijective de E dans F, quelle est la relation entre l'image directe de B par f−1f^{-1} et l'image réciproque de B par f, pour B ⊂ F ?
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Comment peut-on utiliser les fonctions indicatrices pour prouver l'égalité de deux ensembles ?
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Quelle est la relation entre la fonction indicatrice de A ∩ B et celles de A et B ?
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Comment exprimer la fonction indicatrice de A ∪ B en fonction de celles de A et B ?
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Soit R une relation d'équivalence sur E. Si x et y sont deux éléments de E tels que cl(x) = cl(y), que peut-on dire de x et y ?
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Dans Z/5Z, quels sont les éléments de la classe d'équivalence de 7 ?
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Donnez un exemple de deux éléments non comparables pour la relation de divisibilité dans N.
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Pour la relation d'ordre ≤ sur R^R, les fonctions f(x) = x et g(x) = x^2 sont-elles comparables ? Justifiez.
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Soit A = {1, 2, 3, 4, 5}. Combien de classes d'équivalence y a-t-il pour la relation de congruence modulo 3 sur A ?
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Dans P(E) muni de l'inclusion, quel est le plus petit élément contenant à la fois {1, 2} et {2, 3} ?
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Soit R la relation sur R définie par xRy ⇔ x2=y2x^2 = y^2. Est-ce une relation d'équivalence ? Si oui, décrivez ses classes.
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Dans N muni de la divisibilité, quel est le plus grand élément de {12, 18, 24}, s'il existe ?
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Soit f et g deux fonctions de R dans R. Si f ≤ g, que peut-on dire de max(f, g) ?
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Pour la relation de congruence modulo 4 sur Z, donnez un système complet de représentants des classes d'équivalence.
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