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Quelle est l’expression de lasolution geˊneˊrale de l’eˊquationdiffeˊrentielle lineˊaire d’ordre 2,normaliseˊe, sans second membre : (E):y′′+ay′+by=0 ?\large\text{Quelle est l'expression de la} \\ \text{solution générale de l'équation} \\ \text{différentielle linéaire d'ordre 2,} \\ \text{normalisée, sans second membre :}\\ \ \\ \Large (E) : y'' + ay' + by = 0 \text{ ?}
On note Δ le discriminant del’eˊquation caracteˊristique associeˊeaˋ (E), et r1,r2 les deux solutions,eˊventuellement confondues, si ellesexistent.\text{On note }\Delta \text{ le discriminant de}\\ \text{l'équation caractéristique associée}\\ \text{à }(E),\text{ et }r_1, r_2 \text{ les deux solutions,}\\ \text{éventuellement confondues, si elles}\\ \text{existent.}\\ - Si Δ>0,y:x↦λexp⁡(r1x)+μexp⁡(r2x)\text{- Si }\Delta > 0,\\ y:x\mapsto\lambda\exp(r_1x)+\mu\exp(r_2x)\\ - Si Δ=0,y:x↦(λx+μ)exp⁡(r1x)\text{- Si }\Delta =0,\\ y:x\mapsto (\lambda x+\mu)\exp(r_1x)\\ - Si Δ<0,soit r1=a+ib,y:x↦(λcos⁡(bx)+μsin⁡(bx))exp⁡(ax)\text{- Si }\Delta < 0,\\ \text{soit }r_1=a+ib,\\ y:x\mapsto (\lambda\cos(bx)+\mu\sin(bx))\exp(ax)
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme desuperposition pour les eˊquationsdiffeˊrentielles lineˊaires d’ordre 1 ?\large\text{Qu'énonce le théorème de} \\ \text{superposition pour les équations} \\ \text{différentielles linéaires d'ordre 1 ?}
Pour n=2.Soit f1,f2 des fonctions continuessur R.\text{Pour }n=2. \\ \text{Soit }f_1,f_2 \text{ des fonctions continues} \\ \text{sur }\mathbb{R}. Soit λ1,λ2 des reˊels. \text{Soit }\lambda_1,\lambda_2 \text{ des réels.} \\ \ \\ Si x1,x2 sont des solutions deseˊquations diffeˊrentielles :(E1):y′′+ay′+by=f1(x)(E2):y′′+ay′+by=f2(x), alors λ1x1+λ2x2 est solution dey′′+ay′+by=λ1f1(x)+λ2f2(x)\text{Si }x_1,x_2 \text{ sont des solutions des} \\ \text{équations différentielles :}\\ (E_1) : y'' + ay' + by = f_1(x)\\ (E_2) : y'' + ay' + by = f_2(x), \\ \ \\ \text{alors }\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 \text{ est solution de} \\ y'' + ay' + by = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x).  Ce principe se geˊneˊralise aˋ n≥3. \\ \ \\ \text{Ce principe se généralise à }n\ge3.
Qu’eˊnonce le theˊoreˋme de Cauchysur les eˊquations diffeˊrentiellesd’ordre 2 ?\large\text{Qu'énonce le théorème de Cauchy} \\ \text{sur les équations différentielles} \\ \text{d'ordre 2 ?}
Le probleˋme de Cauchy (E):y′′+ay′+by=f(x)et y(x0)=α,    y′(x0)=β admet une unique solution.\large\text{Le problème de Cauchy} \\ \ \\ \Large(E) : y''+ ay' + by = f(x) \\ \text{et }y(x_0) = \alpha, \; \; y'(x_0) = \beta \\ \ \\ \large \text{admet une unique solution.}
Meˊthode : Comment reˊsout-on une eˊquationdiffeˊrentielle (E) d’ordre 2normaliseˊe avec secondmembre ?\LARGE\text{Méthode : }\\ \large\text{Comment résout-on une équation} \\ \text{différentielle }(E) \text{ d'ordre 2} \\ \text{normalisée avec second} \\ \text{membre ?}
- On reˊsout d’abord l’eˊquationhomogeˋne (sans second membre)associeˊe.- On cherche une solutionparticulieˋre de (E)\text{- On résout d'abord l'équation} \\ \text{homogène (sans second membre)} \\ \text{associée.} \\ \text{- On cherche une solution} \\ \text{particulière de }(E)  La solution geˊneˊrale de (E) est lasomme d’une solution particulieˋrede (E) et de la solution geˊneˊralede l’eˊquation homogeˋne associeˊe.\\ \ \\ \text{La solution générale de }(E) \text{ est la} \\ \text{somme d'une solution particulière}\\ \text{de }(E) \text{ et de la solution générale} \\ \text{de l'équation homogène associée.}
Meˊthode :Sous quelle forme doit-onchercher une solution particulieˋrede l’eˊquation diffeˊrentielle lineˊaire\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Sous quelle forme doit-on}\\ \text{chercher une solution particulière}\\ \text{de l'équation différentielle linéaire} d’ordre 2 avec second membrede la forme exponentielle : (E):y′′+ay′+by=exp⁡(mx)\large\\ \text{d'ordre 2 avec second membre}\\ \text{de la forme exponentielle :}\\ \ \\ (E):y''+ay'+by=\exp(mx)
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Meˊthode :Sous quelle forme doit-onchercher une solution particulieˋrede l’eˊquation diffeˊrentielle lineˊaired’ordre 2 avec second membrede la forme sinus ou cosinus :\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Sous quelle forme doit-on}\\ \text{chercher une solution particulière}\\ \text{de l'équation différentielle linéaire}\\ \text{d'ordre 2 avec second membre}\\ \text{de la forme sinus ou cosinus :}\\ (E1):y′′+ay′+by=cos⁡(mx)(E2):y′′+ay′+by=sin⁡(mx)\large (E_1):y''+ay'+by=\cos(mx)\\ (E_2):y''+ay'+by=\sin(mx)
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Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre ?
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Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de l'équation homogène y′+a(x)y=0y' + a(x)y = 0 ?
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Comment s'écrivent les solutions de l'équation homogène y′+a(x)y=0y' + a(x)y = 0 ?
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Qu'est-ce que le principe de superposition ?
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En quoi consiste la méthode de variation de la constante ?
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Qu'est-ce qu'un problème de Cauchy ?
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Que dit le théorème de Cauchy ?
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Quelle est la forme générale de l'équation différentielle linéaire du premier ordre en sciences physiques ?
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Comment s'écrivent les solutions de l'équation y′+frac1tauy=fracAtauy' + \\frac{1}{\\tau}y = \\frac{A}{\\tau} avec AA constant ?
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Que représente tau\\tau dans l'équation y′+frac1tauy=fracA(t)tauy' + \\frac{1}{\\tau}y = \\frac{A(t)}{\\tau} ?
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Comment se comporte la solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre constant lorsque t tend vers l'infini ?
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Dans une équation différentielle y′+frac1tauy=fracA(t)tauy' + \\frac{1}{\\tau}y = \\frac{A(t)}{\\tau}, que représente tau\\tau ?
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Comment détermine-t-on une solution particulière pour une équation différentielle avec un second membre sinusoïdal ?
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Quelle est la forme générale des solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec un second membre sinusoïdal ?
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Dans le cas d'un second membre sinusoïdal, comment évolue le déphasage de la solution en régime permanent par rapport à omegatau\\omega \\tau ?
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Comment peut-on prouver qu'une solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre est paire ?
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Dans un circuit RC, quelle grandeur physique joue le rôle de tau\\tau dans l'équation différentielle ?
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Pour une réaction chimique où la vitesse dépend linéairement de la concentration d'un réactif, quelle forme prend l'équation différentielle ?
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Comment le temps caractéristique tau\\tau influence-t-il la vitesse à laquelle le système atteint son état d'équilibre ?
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Dans le modèle de chute libre avec frottements proportionnels à la vitesse, quelle est l'expression de tau\\tau en fonction des paramètres physiques ?
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Comment peut-on interpréter physiquement le second membre dans une équation différentielle linéaire du premier ordre ?
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Quelle méthode utilise-t-on pour trouver une solution particulière lorsqu'on ne trouve pas de solution évidente ?
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