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\Large\text{Quelle est la définition de} \\ \text{deux suites }(u_n)\text{ et }(v_n) \\ \text{adjacentes ?}

\large\text{Les suites } (u_n) \text{ et }(v_n) \\ \text{sont adjacentes si :} \\ \ \\

\large\text{- L'une est croissante} \\ \text{- L'autre est décroissante} \\ \text{- La différence des deux} \\ \text{tend vers 0 :} \\ \lim_{n\to\infty} (u_n - v_n) = 0

\large\text{Quelle est l'expression du terme} \\ \text{générale d'une suite récurrente} \\ \text{d'ordre 2, à coefficient constant} \\ \text{et sans second membre :} \\ \ \\ \Large u_{n+2} + au_{n+1} + bu_n = 0 \text{ ?}

\large\text{On note }\Delta \text{ le discriminant de} \\ \text{l'équation caractéristique associée} \\ \text{à cette suite, et } r_1, r_2 \text{ les deux} \\ \text{solutions, éventuellement} \\ \text{confondues, si elles existent.}\\ \ \\

\large\text{- Si }\Delta > 0, u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n \\

\large\text{- Si }\Delta = 0

u_n = (\lambda n + \mu) r_1^n\\

\large\text{- Si }\Delta < 0, \text{ soit } r_1 = r\exp(i\alpha), \\ u_n = \lambda r^n \cos(n\alpha) + \mu r^n \sin(n\alpha)

\large\text{Quelle est l'expression générale} \\ \text{d'une suite arithmético-}\\ \text{géométrique} \\ \ \\ \LARGE u_{n+1} = au_n + b \text{ ?}

\Large\text{- Si }a = 1, \\ u_n = u_0 + nb, \\ \ \\ \text{- Si }a \in \mathbb{R}\backslash \{ 1\},\\ u_n = a^n(u_0 - r) + r \\ \text{où }r= \frac{b}{1-a}

\Large\text{Rappeler la définition} \\ \text{d'une suite convergente.}

\large\text{La suite }(u_n)\text{ admet }l\in\mathrm{R}\\ \text{comme limite}\Leftrightarrow\\ \ \\ \normalsize\forall\epsilon > 0,\exists n_0\in\mathrm{N},\forall n\geq n_0,|u_n-l|\leq\epsilon

\Large\text{Par quelles opérations les} \\ \text{limites sont-elles stables ?}

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\large\text{Quelle est la limite d'une suite }(u_n)\\ \text{définie comme le produit d'une} \\ \text{suite bornée et d'une suite de} \\ \text{limite nulle ?}

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\LARGE\text{Méthode :}\\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on}\\ \text{appliquer pour démontrer}\\ \text{qu'une suite }(u_n)\text{ converge ?}

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\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{appliquer pour démontrer}

\\ \Large \text{qu'une suite } (u_n) \text{ diverge ?}

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\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment déterminer le terme} \\ \text{général d'une suite }(u_n)\text{ récurrente} \\ \text{d'ordre 2 avec second membre ?}

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Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie A de R ?

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Qu'est-ce que la borne inférieure d'une partie A de R ?

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Quelle est la propriété de la borne supérieure pour R ?

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Comment caractériser la borne supérieure a d'une partie A de R ?

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Comment caractériser les intervalles de R ?

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Qu'énonce la propriété d'Archimède ?

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Qu'est-ce que la partie entière d'un réel x ?

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Comment définit-on l'approximation décimale par défaut de x à la précision

10^{-n}

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Que signifie qu'une partie A de R est dense dans R ?

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Quels sont les ensembles denses dans R ?

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Qu'est-ce qu'une suite réelle ?

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Comment note-t-on généralement le terme général d'une suite ?

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Quelle est la notation pour l'ensemble des suites réelles ?

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Comment définit-on la somme de deux suites

u

v

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Qu'est-ce qu'une suite majorée ?

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Qu'est-ce qu'une suite bornée ?

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Qu'est-ce qu'une suite stationnaire ?

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Comment caractérise-t-on une suite croissante ?

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Qu'est-ce qu'une suite extraite ?

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Que signifie 'à partir d'un certain rang' pour une suite ?

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Qu'est-ce qu'une suite convergente?

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Comment définit-on qu'une suite

(u_n)

tend vers

\\ell

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Quelle est la notation pour la limite d'une suite

u

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Qu'est-ce qu'une suite divergente?

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Énoncez la propriété d'unicité de la limite.

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Quelle est la propriété fondamentale d'une suite convergente?

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Comment définit-on qu'une suite tend vers

+\\infty

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Qu'est-ce qu'une suite extraite?

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Quelle est la propriété des suites extraites par rapport à la convergence?

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Qu'est-ce que le caractère asymptotique de la notion de limite?

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Qu'est-ce que le produit d'une suite bornée par une suite tendant vers 0 ?

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Si deux suites convergent vers 0, que peut-on dire de leur somme ?

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Que vaut la limite de

\\lambda u + \\mu v

u

converge vers

\\ell_1

v

vers

\\ell_2

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Que vaut la limite de

uv

u

converge vers

\\ell_1

v

vers

\\ell_2

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u

est une suite convergeant vers

\\ell \\neq 0

, que peut-on dire de

\\frac{1}{u_n}

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u

diverge vers

+\\infty

, que peut-on dire de

\\frac{1}{u_n}

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u

converge vers 0 avec

u_n > 0

à partir d'un certain rang, que peut-on dire de

\\frac{1}{u_n}

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Qu'énonce le théorème d'encadrement ?

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Que peut-on dire d'une suite positive à partir d'un certain rang qui admet une limite

\\ell

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u_n \\leq v_n

à partir d'un certain rang et

u

v

convergent, que peut-on dire de leurs limites ?

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u_n \\leq v_n

à partir d'un certain rang et

\\lim u = +\\infty

, que peut-on dire de

v

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u_n \\leq v_n

à partir d'un certain rang et

\\lim v = -\\infty

, que peut-on dire de

u

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Montrez que si

a

est un réel tel que

\\forall \\varepsilon>0, |a| \\leqslant \\varepsilon

, alors

a=0

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Prouvez que l'intervalle

]a,b[

admet

b

comme borne supérieure.

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Démontrez que

\\sqrt{2}

existe en utilisant la propriété de la borne supérieure.

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Prouvez que pour tout

x > 1

y \\in \\mathbb{R}

, il existe

n \\in \\mathbb{N}

tel que

x^n \\geqslant y

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Montrez que pour tout

x \\in \\mathbb{R}

p \\in \\mathbb{Z}

, on a

\\lfloor x+p \\rfloor = \\lfloor x \\rfloor + p

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Comment approcher

\\pi

10^{-3}

près par défaut et par excès ?

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Prouvez que

\\mathbb{Q}

est dense dans

\\mathbb{R}

en utilisant la densité de

\\mathbb{D}

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Démontrez que

\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q}

est dense dans

\\mathbb{R}

en utilisant

\\sqrt{2}

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Montrez qu'entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels.

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Prouvez que la partie entière par excès

\\lceil x \\rceil

est l'unique entier

n

tel que

n-1 < x \\leqslant n

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Comment déterminer si une suite

u_n

est croissante sans utiliser la définition formelle ?

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Pour une suite

u_n

à valeurs strictement positives, quelle comparaison permet d'étudier sa monotonie ?

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Soit

u_n = rac{n}{n+1}

. Cette suite est-elle croissante ?

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Montrez que la suite

u_n = (1 + rac{1}{n})^n

est croissante pour

n \\geq 1

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Soit

u_n = rac{n!}{n^n}

. Cette suite est-elle bornée ?

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Donnez un exemple de suite extraite de

u_n = (-1)^n

qui est constante

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u_n

est croissante et

v_n

est décroissante, que peut-on dire de

u_n + v_n

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Soit

u_n = rac{n}{n+1}

. Montrez que

u_n

converge sans calculer sa limite

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Quelle propriété de

u_n

implique que toutes ses sous-suites sont bornées ?

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Soit

u_n = sin(n\\pi/2)

. Donnez une sous-suite de

u_n

qui est constante

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Pour quelles valeurs de

\\alpha

la suite

u_n = rac{\\alpha(\\alpha+1)...(\\alpha+n-1)}{n!}

est-elle décroissante ?

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Soit

u_n = rac{1}{n}

v_n = rac{1}{n+1}

. Montrez que

u_n \\leq v_n

à partir d'un certain rang

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Montrez que la suite

u_n = \\frac{n!+1}{n!}

tend vers 1 en majorant

|u_n - 1|

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Prouvez que si

|a| < 1

, alors

a^n \\to 0

quand

n \\to \\infty

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Démontrez que si

u_n \\to \\ell

v_n \\to 0

, avec

|u_n - \\ell| \\leq v_n

à partir d'un certain rang, alors

u_n \\to \\ell

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Montrez que si

u_n \\to \\ell > 0

, alors

u_n

est minorée par un réel positif à partir d'un certain rang.

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Prouvez que si

u_n \\to +\\infty

, alors

u_n

est minorée.

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Montrez que si

u_n \\to +\\infty

, alors

-u_n \\to -\\infty

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Prouvez que si

u_n \\to \\ell

(finie ou infinie), alors toute suite extraite de

u_n

tend vers

\\ell

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Démontrez que si

u_{2n} \\to \\ell

u_{2n+1} \\to \\ell

, alors

u_n \\to \\ell

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Montrez que si

u_n \\to \\ell

v_n = u_n

à partir d'un certain rang, alors

v_n \\to \\ell

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Si une suite

u

est convergente et

v

diverge, que peut-on dire de

u+v

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Comment montrer qu'une suite a une limite strictement positive ?

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Que peut-on dire de la limite d'une suite croissante convergente avec au moins un terme strictement positif ?

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Comment simplifier l'étude de

\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{2n^2-\\sin n}{\\cos n-3n^2}

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Quelle est la limite de

\\frac{\\sin n}{n^2}

quand

n

tend vers l'infini ?

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u_n \\to +\\infty

v_n

est minorée, que peut-on dire de

u_n + v_n

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u_n \\to +\\infty

v_n \\geq k > 0

à partir d'un certain rang, que vaut

\\lim u_n v_n

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Comment étudier la convergence de

\\sum_{k=1}^n \\frac{n}{\\sqrt{n^4+k}}

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u_n \\leq v_n \\leq w_n

à partir d'un certain rang et

u_n, w_n \\to \\ell

, que peut-on dire de

v_n

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u_n \\to 0

et tous les

u_n

sont strictement positifs à partir d'un certain rang, que vaut

\\lim \\frac{1}{u_n}

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