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Quelle est la deˊfinition dedeux suites (un) et (vn)adjacentes ?\Large\text{Quelle est la définition de} \\ \text{deux suites }(u_n)\text{ et }(v_n) \\ \text{adjacentes ?}
Les suites (un) et (vn)sont adjacentes si : \large\text{Les suites } (u_n) \text{ et }(v_n) \\ \text{sont adjacentes si :} \\ \ \\ - L’une est croissante- L’autre est deˊcroissante- La diffeˊrence des deuxtend vers 0 :lim⁡n→∞(un−vn)=0\large\text{- L'une est croissante} \\ \text{- L'autre est décroissante} \\ \text{- La différence des deux} \\ \text{tend vers 0 :} \\ \lim_{n\to\infty} (u_n - v_n) = 0
Quelle est l’expression du termegeˊneˊrale d’une suite reˊcurrented’ordre 2, aˋ coefficient constantet sans second membre : un+2+aun+1+bun=0 ?\large\text{Quelle est l'expression du terme} \\ \text{générale d'une suite récurrente} \\ \text{d'ordre 2, à coefficient constant} \\ \text{et sans second membre :} \\ \ \\ \Large u_{n+2} + au_{n+1} + bu_n = 0 \text{ ?}
On note Δ le discriminant del’eˊquation caracteˊristique associeˊeaˋ cette suite, et r1,r2 les deuxsolutions, eˊventuellementconfondues, si elles existent. \large\text{On note }\Delta \text{ le discriminant de} \\ \text{l'équation caractéristique associée} \\ \text{à cette suite, et } r_1, r_2 \text{ les deux} \\ \text{solutions, éventuellement} \\ \text{confondues, si elles existent.}\\ \ \\ - Si Δ>0,un=λr1n+μr2n\large\text{- Si }\Delta > 0, u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n \\ - Si Δ=0\large\text{- Si }\Delta = 0, un=(λn+μ)r1nu_n = (\lambda n + \mu) r_1^n\\ - Si Δ<0, soit r1=rexp⁡(iα),un=λrncos⁡(nα)+μrnsin⁡(nα)\large\text{- Si }\Delta < 0, \text{ soit } r_1 = r\exp(i\alpha), \\ u_n = \lambda r^n \cos(n\alpha) + \mu r^n \sin(n\alpha)
Quelle est l’expression geˊneˊraled’une suite arithmeˊtico-geˊomeˊtrique un+1=aun+b ?\large\text{Quelle est l'expression générale} \\ \text{d'une suite arithmético-}\\ \text{géométrique} \\ \ \\ \LARGE u_{n+1} = au_n + b \text{ ?}
- Si a=1,un=u0+nb, - Si a∈R\{1},un=an(u0−r)+rouˋ r=b1−a\Large\text{- Si }a = 1, \\ u_n = u_0 + nb, \\ \ \\ \text{- Si }a \in \mathbb{R}\backslash \{ 1\},\\ u_n = a^n(u_0 - r) + r \\ \text{où }r= \frac{b}{1-a}
Rappeler la deˊfinitiond’une suite convergente.\Large\text{Rappeler la définition} \\ \text{d'une suite convergente.}
La suite (un) admet l∈Rcomme limite⇔ ∀ϵ>0,∃n0∈N,∀n≥n0,∣un−l∣≤ϵ\large\text{La suite }(u_n)\text{ admet }l\in\mathrm{R}\\ \text{comme limite}\Leftrightarrow\\ \ \\ \normalsize\forall\epsilon > 0,\exists n_0\in\mathrm{N},\forall n\geq n_0,|u_n-l|\leq\epsilon
Par quelles opeˊrations leslimites sont-elles stables ?\Large\text{Par quelles opérations les} \\ \text{limites sont-elles stables ?}
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Quelle est la limite d’une suite (un)deˊfinie comme le produit d’unesuite borneˊe et d’une suite delimite nulle ?\large\text{Quelle est la limite d'une suite }(u_n)\\ \text{définie comme le produit d'une} \\ \text{suite bornée et d'une suite de} \\ \text{limite nulle ?}
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Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour deˊmontrerqu’une suite (un) converge ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on}\\ \text{appliquer pour démontrer}\\ \text{qu'une suite }(u_n)\text{ converge ?}
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Meˊthode :Quelles meˊthodes peut-onappliquer pour deˊmontrer\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{appliquer pour démontrer} qu’une suite (un) diverge ? \\ \Large \text{qu'une suite } (u_n) \text{ diverge ?}
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Meˊthode :Comment deˊterminer le termegeˊneˊral d’une suite (un) reˊcurrented’ordre 2 avec second membre ?\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment déterminer le terme} \\ \text{général d'une suite }(u_n)\text{ récurrente} \\ \text{d'ordre 2 avec second membre ?}
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Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie A de R ?
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Qu'est-ce que la borne inférieure d'une partie A de R ?
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Quelle est la propriété de la borne supérieure pour R ?
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Comment caractériser la borne supérieure a d'une partie A de R ?
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Comment caractériser les intervalles de R ?
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Qu'énonce la propriété d'Archimède ?
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Qu'est-ce que la partie entière d'un réel x ?
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Comment définit-on l'approximation décimale par défaut de x à la précision 10−n10^{-n} ?
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Que signifie qu'une partie A de R est dense dans R ?
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Quels sont les ensembles denses dans R ?
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Qu'est-ce qu'une suite réelle ?
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Comment note-t-on généralement le terme général d'une suite ?
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Quelle est la notation pour l'ensemble des suites réelles ?
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Comment définit-on la somme de deux suites uu et vv ?
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Qu'est-ce qu'une suite majorée ?
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Qu'est-ce qu'une suite bornée ?
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Qu'est-ce qu'une suite stationnaire ?
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Comment caractérise-t-on une suite croissante ?
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Qu'est-ce qu'une suite extraite ?
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Que signifie 'à partir d'un certain rang' pour une suite ?
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Qu'est-ce qu'une suite convergente?
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Comment définit-on qu'une suite (un)(u_n) tend vers ell\\ell ?
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Quelle est la notation pour la limite d'une suite uu ?
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Qu'est-ce qu'une suite divergente?
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Énoncez la propriété d'unicité de la limite.
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Quelle est la propriété fondamentale d'une suite convergente?
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Comment définit-on qu'une suite tend vers +infty+\\infty ?
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Qu'est-ce qu'une suite extraite?
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Quelle est la propriété des suites extraites par rapport à la convergence?
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Qu'est-ce que le caractère asymptotique de la notion de limite?
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Qu'est-ce que le produit d'une suite bornée par une suite tendant vers 0 ?
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Si deux suites convergent vers 0, que peut-on dire de leur somme ?
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Que vaut la limite de lambdau+muv\\lambda u + \\mu v si uu converge vers ell1\\ell_1 et vv vers ell2\\ell_2 ?
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Que vaut la limite de uvuv si uu converge vers ell1\\ell_1 et vv vers ell2\\ell_2 ?
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Si uu est une suite convergeant vers ellneq0\\ell \\neq 0, que peut-on dire de frac1un\\frac{1}{u_n} ?
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Si uu diverge vers +infty+\\infty, que peut-on dire de frac1un\\frac{1}{u_n} ?
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Si uu converge vers 0 avec un>0u_n > 0 à partir d'un certain rang, que peut-on dire de frac1un\\frac{1}{u_n} ?
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Qu'énonce le théorème d'encadrement ?
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Que peut-on dire d'une suite positive à partir d'un certain rang qui admet une limite ell\\ell ?
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Si unleqvnu_n \\leq v_n à partir d'un certain rang et uu et vv convergent, que peut-on dire de leurs limites ?
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Si unleqvnu_n \\leq v_n à partir d'un certain rang et limu=+infty\\lim u = +\\infty, que peut-on dire de vv ?
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Si unleqvnu_n \\leq v_n à partir d'un certain rang et limv=−infty\\lim v = -\\infty, que peut-on dire de uu ?
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Montrez que si aa est un réel tel que forallvarepsilon>0,∣a∣leqslantvarepsilon\\forall \\varepsilon>0, |a| \\leqslant \\varepsilon, alors a=0a=0.
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Prouvez que l'intervalle ]a,b[]a,b[ admet bb comme borne supérieure.
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Démontrez que sqrt2\\sqrt{2} existe en utilisant la propriété de la borne supérieure.
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Prouvez que pour tout x>1x > 1 et yinmathbbRy \\in \\mathbb{R}, il existe ninmathbbNn \\in \\mathbb{N} tel que xngeqslantyx^n \\geqslant y.
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Montrez que pour tout xinmathbbRx \\in \\mathbb{R} et pinmathbbZp \\in \\mathbb{Z}, on a lfloorx+prfloor=lfloorxrfloor+p\\lfloor x+p \\rfloor = \\lfloor x \\rfloor + p.
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Comment approcher pi\\pi à 10−310^{-3} près par défaut et par excès ?
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Prouvez que mathbbQ\\mathbb{Q} est dense dans mathbbR\\mathbb{R} en utilisant la densité de mathbbD\\mathbb{D}.
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Démontrez que mathbbRsetminusmathbbQ\\mathbb{R} \\setminus \\mathbb{Q} est dense dans mathbbR\\mathbb{R} en utilisant sqrt2\\sqrt{2}.
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Montrez qu'entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels.
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Prouvez que la partie entière par excès lceilxrceil\\lceil x \\rceil est l'unique entier nn tel que n−1<xleqslantnn-1 < x \\leqslant n.
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Comment déterminer si une suite unu_n est croissante sans utiliser la définition formelle ?
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Pour une suite unu_n à valeurs strictement positives, quelle comparaison permet d'étudier sa monotonie ?
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Soit un=racnn+1u_n = rac{n}{n+1}. Cette suite est-elle croissante ?
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Montrez que la suite un=(1+rac1n)nu_n = (1 + rac{1}{n})^n est croissante pour ngeq1n \\geq 1
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Soit un=racn!nnu_n = rac{n!}{n^n}. Cette suite est-elle bornée ?
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Donnez un exemple de suite extraite de un=(−1)nu_n = (-1)^n qui est constante
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Si unu_n est croissante et vnv_n est décroissante, que peut-on dire de un+vnu_n + v_n ?
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Soit un=racnn+1u_n = rac{n}{n+1}. Montrez que unu_n converge sans calculer sa limite
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Quelle propriété de unu_n implique que toutes ses sous-suites sont bornées ?
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Soit un=sin(npi/2)u_n = sin(n\\pi/2). Donnez une sous-suite de unu_n qui est constante
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Pour quelles valeurs de alpha\\alpha la suite un=racalpha(alpha+1)...(alpha+n−1)n!u_n = rac{\\alpha(\\alpha+1)...(\\alpha+n-1)}{n!} est-elle décroissante ?
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Soit un=rac1nu_n = rac{1}{n} et vn=rac1n+1v_n = rac{1}{n+1}. Montrez que unleqvnu_n \\leq v_n à partir d'un certain rang
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Montrez que la suite un=fracn!+1n!u_n = \\frac{n!+1}{n!} tend vers 1 en majorant ∣un−1∣|u_n - 1|.
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Prouvez que si ∣a∣<1|a| < 1, alors anto0a^n \\to 0 quand ntoinftyn \\to \\infty.
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Démontrez que si untoellu_n \\to \\ell et vnto0v_n \\to 0, avec ∣un−ell∣leqvn|u_n - \\ell| \\leq v_n à partir d'un certain rang, alors untoellu_n \\to \\ell.
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Montrez que si untoell>0u_n \\to \\ell > 0, alors unu_n est minorée par un réel positif à partir d'un certain rang.
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Prouvez que si unto+inftyu_n \\to +\\infty, alors unu_n est minorée.
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Montrez que si unto+inftyu_n \\to +\\infty, alors −unto−infty-u_n \\to -\\infty.
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Prouvez que si untoellu_n \\to \\ell (finie ou infinie), alors toute suite extraite de unu_n tend vers ell\\ell.
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Démontrez que si u2ntoellu_{2n} \\to \\ell et u2n+1toellu_{2n+1} \\to \\ell, alors untoellu_n \\to \\ell.
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Montrez que si untoellu_n \\to \\ell et vn=unv_n = u_n à partir d'un certain rang, alors vntoellv_n \\to \\ell.
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Si une suite uu est convergente et vv diverge, que peut-on dire de u+vu+v ?
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Comment montrer qu'une suite a une limite strictement positive ?
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Que peut-on dire de la limite d'une suite croissante convergente avec au moins un terme strictement positif ?
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Comment simplifier l'étude de limntoinftyfrac2n2−sinncosn−3n2\\lim_{n\\to\\infty} \\frac{2n^2-\\sin n}{\\cos n-3n^2} ?
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Quelle est la limite de fracsinnn2\\frac{\\sin n}{n^2} quand nn tend vers l'infini ?
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Si unto+inftyu_n \\to +\\infty et vnv_n est minorée, que peut-on dire de un+vnu_n + v_n ?
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Si unto+inftyu_n \\to +\\infty et vngeqk>0v_n \\geq k > 0 à partir d'un certain rang, que vaut limunvn\\lim u_n v_n ?
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Comment étudier la convergence de sumk=1nfracnsqrtn4+k\\sum_{k=1}^n \\frac{n}{\\sqrt{n^4+k}} ?
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Si unleqvnleqwnu_n \\leq v_n \\leq w_n à partir d'un certain rang et un,wntoellu_n, w_n \\to \\ell, que peut-on dire de vnv_n ?
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Si unto0u_n \\to 0 et tous les unu_n sont strictement positifs à partir d'un certain rang, que vaut limfrac1un\\lim \\frac{1}{u_n} ?
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