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Qu'est-ce qu'une congruence modulo n ?
Deux entiers aa et bb sont congrus modulo nn si nn divise b−ab-a, c'est-à-dire s'il existe kinmathbbZk \\in \\mathbb{Z} tel que b=a+knb=a+kn. On note aequivb[n]a \\equiv b[n].
Combien y a-t-il de classes de congruence modulo n ?
Il existe exactement nn classes de congruence modulo nn.
Quelle est la propriété de compatibilité de la congruence avec l'addition et la multiplication ?
Si aequiva′[n]a \\equiv a'[n] et bequivb′[n]b \\equiv b'[n], alors a+bequiva′+b′[n]a+b \\equiv a'+b'[n] et abequiva′b′[n]ab \\equiv a'b'[n].
Qu'est-ce qu'un inverse modulo n ?
bb est inverse de aa modulo nn si abequiv1[n]ab \\equiv 1[n].
Quelle est la condition d'existence d'un inverse modulo n ?
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Comment résout-on l'équation axequivc[n]ax \\equiv c[n] ?
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Quel est le critère de divisibilité par 9 ?
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Quelle est la propriété des coefficients binomiaux modulo un nombre premier p ?
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Quel est le petit théorème de Fermat ?
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Quelle est la conséquence du petit théorème de Fermat pour un entier non multiple de p ?
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Qu'est-ce qu'une loi de composition interne sur un ensemble E ?
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Quand dit-on qu'une loi de composition interne est associative ?
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Quand dit-on qu'une loi de composition interne est commutative ?
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Qu'est-ce qu'un élément neutre pour une loi * sur E ?
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Qu'est-ce qu'un élément symétrisable pour une loi * avec neutre e ?
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Comment note-t-on le symétrique d'un élément pour une loi multiplicative ?
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Comment note-t-on le symétrique d'un élément pour une loi additive ?
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Comment définit-on l'itéré n-ième d'un élément x pour une loi * ?
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Qu'est-ce qu'une partie stable par une loi * sur E ?
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Qu'est-ce qu'un morphisme entre (E,∗)(E,*) et (E′,∗′)(E',*') ?
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Qu'est-ce qu'un isomorphisme ?
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Qu'est-ce qu'un endomorphisme ?
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Qu'est-ce qu'un automorphisme ?
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Si aequiv3[7]a \\equiv 3 [7] et bequiv5[7]b \\equiv 5 [7], que vaut a+ba + b modulo 7 ?
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Combien y a-t-il de classes de congruence modulo 12 ?
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Quel est l'inverse de 5 modulo 11 ?
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Si 3xequiv2[7]3x \\equiv 2 [7], quelle est la solution xx modulo 7 ?
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Soit n=12345n = 12345. Que vaut nn modulo 9 ?
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Quelle est la condition pour que aa ait un inverse modulo nn ?
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Calculez 7107^{10} modulo 11 en utilisant le petit théorème de Fermat.
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Si pp est premier et pp ne divise pas aa, que vaut ap−1a^{p-1} modulo pp ?
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Résolvez 5xequiv3[11]5x \\equiv 3 [11] en trouvant d'abord l'inverse de 5 modulo 11.
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Soit pp premier. Que vaut (a+b)p−(ap+bp)(a+b)^p - (a^p + b^p) modulo pp ?
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Montrez que la composition des applications n'est pas commutative en général.
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Donnez un exemple de loi de composition interne qui n'est ni associative ni commutative.
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Prouvez que l'ensemble des matrices inversibles de taille n est stable par multiplication.
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Montrez que la loi (a,b)∗(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) * (c,d) = (ac-bd, ad+bc) sur mathbbR2\\mathbb{R}^2 est associative.
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Donnez un exemple de partie de mathbbR\\mathbb{R} stable par addition mais pas par multiplication.
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Prouvez que si ff est un morphisme de (mathbbR,+)(\\mathbb{R},+) dans (mathbbR,+)(\\mathbb{R},+), alors f(0)=0f(0)=0.
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Montrez que l'exponentielle est un isomorphisme de (mathbbR,+)(\\mathbb{R},+) sur (mathbbR+∗,times)(\\mathbb{R}_+^*,\\times).
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Construisez une loi de composition interne sur mathbbR2\\mathbb{R}^2 qui n'est pas commutative.
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Prouvez que si ff est un morphisme de (mathbbR,+)(\\mathbb{R},+) dans (mathbbR,times)(\\mathbb{R},\\times), alors f(x)=elambdaxf(x) = e^{\\lambda x} pour un certain lambda\\lambda.
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Donnez un exemple de morphisme non bijectif de (mathbbZ,+)(\\mathbb{Z},+) dans (mathbbZ,+)(\\mathbb{Z},+).
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