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Qu'est-ce qu'un polynôme à une indéterminée à coefficients dans KK ?
Une expression de la forme sumk=0pakXk\\sum_{k=0}^{p} a_k X^k où akinKa_k \\in K et pinNp \\in N
Comment définit-on l'égalité entre deux polynômes ?
Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux
Comment calcule-t-on la somme de deux polynômes ?
A+B=sumk=0+infty(ak+bk)XkA + B = \\sum_{k=0}^{+\\infty} (a_k + b_k) X^k
Comment calcule-t-on le produit de deux polynômes ?
AB=sumk=0+infty(sumi+j=kaibj)XkAB = \\sum_{k=0}^{+\\infty} (\\sum_{i+j=k} a_i b_j) X^k
Qu'est-ce que K[X]K[X] ?
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Qu'est-ce qu'un polynôme constant ?
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Comment définit-on le degré d'un polynôme non nul ?
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Quel est le degré du polynôme nul ?
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Qu'est-ce que le coefficient dominant d'un polynôme ?
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Qu'est-ce qu'un polynôme unitaire ?
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Quelle est la relation entre les degrés pour la somme de polynômes ?
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Quelle est la relation entre les degrés pour le produit de polynômes ?
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Quels sont les éléments inversibles de K[X]K[X] ?
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Comment définit-on l'évaluation d'un polynôme en un point alpha\\alpha ?
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Qu'est-ce que la composition de polynômes AcircPA \\circ P ?
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Qu'est-ce que le polynôme dérivé A′A' d'un polynôme A=sumk=0+inftyakXkA=\\sum_{k=0}^{+\\infty} a_{k} X^{k} ?
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Quel est le degré du polynôme dérivé A′A' si degAgeq1deg A \\geq 1 ?
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Quelle est la condition pour que A′=0A' = 0 ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une somme de polynômes (lambdaA+muB)′(\\lambda A+\\mu B)' ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un produit de polynômes (AB)′(AB)' ?
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Comment définit-on les dérivées successives d'un polynôme AA ?
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Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit de polynômes ?
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Énoncez la formule de Taylor pour un polynôme AA en alpha\\alpha ?
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Si alpha\\alpha est racine d'ordre rr de AA, que peut-on dire de A′A' ?
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Caractérisez une racine d'ordre rr d'un polynôme AA en termes de dérivées successives.
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Quelle est la propriété de symétrie des racines complexes d'un polynôme réel ?
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Qu'est-ce que le théorème de d'Alembert-Gauss ?
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Comment s'écrit la factorisation d'un polynôme non nul à coefficients complexes ?
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Quel est le corollaire du théorème de d'Alembert-Gauss pour mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] ?
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Comment caractériser les diviseurs d'un polynôme AA dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] ?
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Quelle est la forme générale de factorisation d'un polynôme non nul AA de mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] ?
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Quelles sont les conditions sur les termes de la factorisation d'un polynôme réel ?
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Pourquoi X2+1X^2+1 n'est-il pas scindé sur mathbbR\\mathbb{R} ?
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Comment factoriser X4+1X^4+1 dans mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] ?
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Quelle est la relation entre les racines d'un diviseur BB et celles du polynôme AA ?
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Comment utiliser les racines complexes pour factoriser un polynôme réel ?
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Soit P=X3−2X+1P = X^3 - 2X + 1 et Q=X2+1Q = X^2 + 1. Calculez (PcircQ)(2)(P \\circ Q)(2).
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Montrez que le polynôme X2+1X^2 + 1 n'a pas de racine réelle mais a des racines complexes.
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Soit P=X2−1P = X^2 - 1 et Q=X+1Q = X + 1. Calculez (PcircQ)−(QcircP)(P \\circ Q) - (Q \\circ P).
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Trouvez un polynôme PP de degré 3 tel que P(0)=1P(0) = 1, P(1)=2P(1) = 2, P(2)=5P(2) = 5 et P(3)=10P(3) = 10.
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Soit P=aX2+bX+cP = aX^2 + bX + c. Exprimez aa, bb et cc en fonction de P(0)P(0), P(1)P(1) et P(2)P(2).
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Montrez que si PP est un polynôme de degré impair, alors PP admet au moins une racine réelle.
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Soit P=X3−3X+1P = X^3 - 3X + 1. Montrez que PP admet une unique racine réelle.
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Soit PP un polynôme de degré nn. Quel est le degré de P′P' ?
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Montrez que si PP et QQ sont deux polynômes unitaires, alors PtimesQP \\times Q est unitaire.
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Soit P=X3−1P = X^3 - 1. Factorisez PP dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X].
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Comment déterminer si un polynôme AA est divisible par (X−alpha)3(X-\\alpha)^3 ?
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Quelle est la dérivée d'ordre n de XnX^n ?
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Comment trouver l'ordre de multiplicité d'une racine alpha\\alpha d'un polynôme AA ?
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Si alpha\\alpha est racine d'ordre 4 de AA, que peut-on dire de A′A' ?
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Comment utiliser la formule de Taylor pour tester si alpha\\alpha est racine double de AA ?
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Si 2+i2+i est racine d'un polynôme réel AA, que peut-on dire de 2−i2-i ?
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Comment calculer rapidement la dérivée de A(X)=X5+3X2−2A(X) = X^5 + 3X^2 - 2 ?
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Quelle est la relation entre le degré de AA et le degré de sa dérivée kk-ième A(k)A^{(k)} ?
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Comment appliquer la formule de Leibniz pour calculer (X3cdoteX)(2)(X^3 \\cdot e^X)^{(2)} ?
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Si A=(X−1)3(X+2)2A = (X-1)^3(X+2)^2, que vaut A(4)(1)A^{(4)}(1) ?
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Comment trouver les racines complexes d'un polynôme réel de degré 4 sans racine réelle ?
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Quelle est la forme générale d'un diviseur d'un polynôme A=lambdaprodk=1p(X−alphak)rkA=\\lambda \\prod_{k=1}^{p}(X-\\alpha_k)^{r_k} dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] ?
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Comment vérifier si un polynôme BB divise un polynôme AA dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] ?
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Quelle est la particularité des facteurs irréductibles d'un polynôme réel dans mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] ?
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Comment factoriser X4+1X^4+1 dans mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] sans calculer les racines complexes ?
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Quelle est la relation entre les racines complexes conjuguées d'un polynôme réel ?
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Comment déterminer le nombre de facteurs irréductibles réels d'un polynôme de degré n dans mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme de mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] soit scindé sur mathbbR\\mathbb{R} ?
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Comment utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss pour prouver qu'un polynôme de degré impair a toujours une racine réelle ?
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Quelle est la différence principale entre la factorisation dans mathbbC[X]\\mathbb{C}[X] et mathbbR[X]\\mathbb{R}[X] pour un polynôme réel ?
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