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Qu'est-ce qu'un sous-espace vectoriel ?

Une partie

F

de

E

telle que

0_E \\in F

,

F

est stable par addition et par multiplication par un scalaire.

Comment définit-on la somme de deux sous-espaces vectoriels

F_1

et

F_2

?

F_1 + F_2 = \\{x_1 + x_2 | (x_1, x_2) \\in F_1 \\times F_2\\}

Quand dit-on que deux sous-espaces vectoriels sont en somme directe ?

Lorsque pour tout

x \\in F_1 + F_2

, la décomposition

x = x_1 + x_2

avec

x_1 \\in F_1

et

x_2 \\in F_2

est unique.

Quelle est la notation pour la somme directe de

F_1

et

F_2

?

F_1 \\oplus F_2

Quand dit-on que

F_1

et

F_2

sont supplémentaires dans

E

?

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Comment définit-on le sous-espace vectoriel engendré par une partie

A

de

E

?

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Comment peut-on décrire Vect

A

?

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Qu'est-ce qu'une droite vectorielle ?

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Comment définit-on le sous-espace vectoriel engendré par une famille

\\mathcal{A} = (a_i)_{i \\in I}

?

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Quelle est la propriété caractéristique de l'intersection de sous-espaces vectoriels ?

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Dans

\\mathbb{R}^3

, comment montrer que

F = \\{(x-2y, 2x+y, 3x-2y) | (x,y) \\in \\mathbb{R}^2\\}

est un sous-espace vectoriel ?

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Comment vérifier que deux sous-espaces vectoriels

F_1

et

F_2

sont en somme directe ?

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Dans

\\mathbb{R}^3

, donnez un sous-espace vectoriel supplémentaire à

F = \\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 : x+y+z=0\\}

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Comment décomposer une fonction

f \\in \\mathbb{R}^{\\mathbb{R}}

en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire ?

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Dans

\\mathcal{M}_n(\\mathbb{K})

, comment décomposer une matrice M en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique ?

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Dans

\\mathbb{K}[X]

, quels sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires pour un polynôme P non nul ?

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Comment prouver que la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas un sous-espace vectoriel en général ?

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Dans

\\mathbb{R}^2

, donnez deux sous-espaces vectoriels supplémentaires différents de

F = \\{(x,0) : x \\in \\mathbb{R}\\}

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Comment exprimer le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n en termes de Vect ?

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Dans le

\\mathbb{R}

-espace vectoriel

\\mathbb{C}

, que vaut Vect

\\{1,i\\}

?

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