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Qu'est-ce qu'une translation de vecteur

a

dans un espace vectoriel

E

L'application

t_a : E \\to E

définie par

x \\mapsto a+x

Quelle est la propriété de composition des translations ?

Pour tout

a,b \\in E

t_a \\circ t_b = t_{a+b} = t_b \\circ t_a

Quelle est l'inverse d'une translation

t_a

t_a^{-1} = t_{-a}

Comment note-t-on l'ensemble

\\{a+f \\mid f \\in F\\}

où

F

est un sous-espace vectoriel de

E

a+F

Quand

a+F

est-il un sous-espace vectoriel de

E

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Qu'est-ce qu'un sous-espace affine de

E

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Qu'est-ce que la direction d'un sous-espace affine ?

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Qu'est-ce qu'une droite affine ?

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Un sous-espace vectoriel est-il un sous-espace affine ?

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Que peut-on dire de l'intersection de deux sous-espaces affines ?

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Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

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Qu'appelle-t-on un endomorphisme ?

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Qu'est-ce qu'un isomorphisme ?

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Que vaut

u(0_E)

si u est une application linéaire ?

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Comment note-t-on l'ensemble des applications linéaires de E dans F ?

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Quelle est la structure de

\\mathcal{L}(E,F)

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Que peut-on dire de la composition de deux applications linéaires ?

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Comment définit-on le noyau d'une application linéaire u ?

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Comment définit-on l'image d'une application linéaire u ?

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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire soit injective ?

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Le noyau et l'image d'une application linéaire sont-ils des sous-espaces vectoriels ?

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Que peut-on dire de l'inverse d'un isomorphisme ?

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Qu'est-ce que l'anneau

\\mathcal{L}(E)

des endomorphismes ?

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Qu'est-ce que le groupe linéaire

\\mathcal{G}\\mathcal{L}(E)

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Qu'est-ce qu'une homothétie de rapport

\\lambda

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Définissez un projecteur (ou projection)

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Comment caractériser un projecteur

p

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Qu'est-ce qu'une symétrie ?

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Comment caractériser une symétrie

s

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Quelle est la relation entre un projecteur

p

et la symétrie

s

associée ?

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Que vaut l'inverse d'une symétrie

s

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Donnez la décomposition de

E

induite par une symétrie

s

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Qu'est-ce que l'image par u d'une famille de vecteurs

\\(e_i\\)_{i\\in I}

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Quelle est l'image par u de

Vect((e_i)_{i\\in I})

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Que se passe-t-il si u est injective et

\\(e_i\\)_{i\\in I}

est libre ?

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Condition pour que u soit surjective avec

\\(e_i\\)_{i\\in I}

génératrice de E ?

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\\(e_i\\)_{i\\in I}

est une base de E, condition pour que u soit injective ?

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\\(e_i\\)_{i\\in I}

est une base de E, condition pour que u soit surjective ?

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\\(e_i\\)_{i\\in I}

est une base de E, condition pour que u soit bijective ?

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Que représente

\\varphi_n

dans l'exemple donné ?

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Quelle est la propriété des polynômes de Lagrange dans l'exemple ?

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Pourquoi

\\varphi_n

est-elle un isomorphisme dans l'exemple ?

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Comment caractériser une application linéaire à l'aide d'une base ?

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Quel est le théorème fondamental concernant l'existence et l'unicité d'une application linéaire définie par l'image d'une base ?

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Comment prouver que deux applications linéaires u et v sont égales ?

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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire u soit nulle ?

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Comment peut-on définir une application linéaire à l'aide de sous-espaces vectoriels supplémentaires ?

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Quel est le théorème concernant l'existence et l'unicité d'une application linéaire définie sur des sous-espaces supplémentaires ?

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Comment peut-on caractériser un projecteur à l'aide de sous-espaces supplémentaires ?

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Comment caractériser une symétrie à l'aide de sous-espaces supplémentaires ?

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Quelle est la formule de Taylor polynomiale ?

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Comment définir une application linéaire sur un espace vectoriel E ?

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Qu'est-ce qu'une forme linéaire sur un espace vectoriel E ?

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Comment note-t-on l'ensemble des formes linéaires sur E ?

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Quelle est la propriété de surjectivité d'une forme linéaire non nulle ?

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Qu'est-ce qu'une forme linéaire coordonnée dans une base ?

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Que renvoie la forme linéaire coordonnée

e_i^*

appliquée à un vecteur x ?

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Qu'est-ce qu'un hyperplan vectoriel ?

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Comment caractériser un hyperplan H en termes de somme directe ?

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Quelle est la relation entre deux formes linéaires de même noyau ?

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Qu'est-ce qu'un hyperplan affine ?

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Dans

\\mathbb{K}[X]

, quel est l'hyperplan des polynômes s'annulant en

\\alpha

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Quelle est la dimension de

E \\times F

E

F

sont deux espaces vectoriels de dimension finie ?

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Quelle est la dimension de

E^p

E

est de dimension finie ?

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Qu'est-ce qu'une base adaptée à une décomposition

E = F \\oplus G

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Tout sous-espace vectoriel d'un espace de dimension finie admet-il un supplémentaire ?

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Quelle est la dimension d'une somme directe

F \\oplus G

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Énoncez la formule de Grassmann

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Quelle est la condition pour que

dim(F+G) = dim F + dim G

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Comment caractériser un hyperplan H dans un espace E de dimension n ?

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Que vaut la dimension de l'intersection de deux plans vectoriels distincts dans un espace de dimension 3 ?

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Quelles sont les conditions équivalentes pour que F et G soient supplémentaires dans E ?

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Qu'est-ce qu'un isomorphisme entre deux espaces vectoriels ?

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Quand deux espaces vectoriels de dimension finie sont-ils isomorphes ?

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Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à quel espace ?

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Qu'est-ce que le rang d'une application linéaire ?

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Quelle est la relation entre le rang et la dimension de l'espace de départ pour une application linéaire de rang fini ?

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Quel est l'énoncé du théorème du rang ?

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Dans un espace de dimension finie, quelles propriétés sont équivalentes pour une application linéaire ?

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Pour un endomorphisme en dimension finie, quelles propriétés sont équivalentes ?

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Quelle est la dimension de

L(E,F)

pour E et F de dimensions finies ?

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Que dit la proposition sur la composition d'applications linéaires et le rang ?

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Comment démontrer qu'un ensemble est un sous-espace affine sans connaître son point de passage ?

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Comment trouver la direction d'un sous-espace affine défini par

\\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 | x+y+z=1\\}

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Quelle est la dimension d'un sous-espace affine de

\\mathbb{R}^4

passant par (1,2,3,4) et dirigé par Vect

((1,0,1,0),(0,1,0,1))

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Comment vérifier si deux sous-espaces affines

a+F

b+G

sont égaux ?

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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que l'intersection de deux sous-espaces affines soit non vide ?

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Comment déterminer si un point

P(x,y,z)

appartient au sous-espace affine

\\{(1+t, 2-t, 3t) | t \\in \\mathbb{R}\\}

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Comment trouver l'équation paramétrique d'une droite affine passant par

(1,2,3)

et de vecteur directeur

(2,-1,1)

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Comment déterminer si trois points

A

B

, et

C

\\mathbb{R}^3

sont alignés ?

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Comment trouver un vecteur normal à un plan affine donné par l'équation

ax+by+cz=d

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Comment déterminer si deux droites affines de

\\mathbb{R}^3

sont coplanaires ?

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Soit u une application linéaire de E dans F. Comment caractériser l'injectivité de u en termes de noyau ?

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Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de manière efficace ?

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Soit u ∈ L(E,F) et v ∈ L(F,G). Quelle condition est équivalente à v ∘ u = 0 ?

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Comment caractériser la surjectivité d'une application linéaire u ∈ L(E,F) en termes d'image ?

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Soit φ : K[X] → K[X] définie par φ(P) = XP. Déterminez Ker φ et Im φ.

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Montrez que l'ensemble {(x,y,z) ∈ K³ : x+2y+3z=0 et x+y=0} est un sous-espace vectoriel de K³.

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Soit u : R³ → R² définie par u(x,y,z) = (x-y+z, z). Déterminez Ker u et Im u.

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Pourquoi la dérivation D : C¹(R,R) → C⁰(R,R) n'est-elle pas injective ?

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Soit φ : C²(R,C) → C⁰(R,C) définie par φ(f) = af'' + bf' + cf avec a ≠ 0. Pourquoi φ n'est-elle pas injective ?

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Soit φ_n la restriction à K_(n-1)[X] de l'application P ↦ (P(x_1),...,P(x_n)) où les x_i sont distincts. Pourquoi φ_n est-elle injective ?

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Comment peut-on exprimer une symétrie s en fonction du projecteur p associé ?

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Si p est un projecteur, quelle est la décomposition en somme directe de E associée ?

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Comment décomposer un vecteur x selon la somme directe associée à un projecteur p ?

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Quelle est la relation entre deux projecteurs associés p et q ?

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Comment exprimer la conjugaison complexe en termes de symétrie ?

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Dans R^3, quelle est l'expression de la symétrie par rapport à Vect((1,0,0)) parallèlement à Vect((0,1,0),(0,0,1)) ?

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Comment exprimer la transposition matricielle en termes de symétrie ?

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Si s est une symétrie, quels sont les sous-espaces supplémentaires naturellement associés ?

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Comment définir une projection sur les fonctions paires dans R^R ?

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Comment définir une symétrie par rapport aux fonctions paires dans R^R ?

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Comment déterminer si une application linéaire u est surjective en utilisant l'image d'une famille génératrice de E ?

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Quelle est la relation entre l'injectivité d'une application linéaire u et l'image d'une famille libre ?

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Comment caractériser la bijectivité d'une application linéaire u en termes de l'image d'une base de E ?

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Soit u une application linéaire et (ei) une base de E. Comment vérifier l'injectivité de u ?

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Dans quelles conditions l'image par u d'une famille génératrice de E est-elle génératrice de Im u ?

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Comment l'image par u du sous-espace vectoriel engendré par une famille (ei) est-elle caractérisée ?

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Quelle est la relation entre Vect((ei)) et Vect((u(ei))) pour une application linéaire u ?

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Comment utiliser les polynômes de Lagrange pour montrer que φn : K[X]n-1 → Kn est un isomorphisme ?

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Soit u : E → F linéaire. Si dim E = dim F < ∞, quelle condition sur u implique sa bijectivité ?

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Comment utiliser le corollaire 21 pour prouver rapidement qu'une application linéaire est un isomorphisme ?

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Comment prouver que deux applications linéaires

u

v

sont égales sans connaître leur expression explicite ?

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Comment définir une application linéaire sur un espace vectoriel

E

de manière unique ?

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Quelle est la condition suffisante pour qu'une application linéaire

u

soit nulle ?

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Comment peut-on définir une application linéaire sur

E

sans utiliser une base ?

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Quelle est la caractérisation d'un projecteur

p

sur

F_1

parallèlement à

F_2

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Comment caractériser une symétrie

s

par rapport à

F_1

parallèlement à

F_2

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Quelle méthode utiliser pour démontrer la formule de Taylor polynomiale ?

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Comment vérifier si une application

u : \\mathbb{K}[X] \\to \\mathbb{K}[X]

définie par

u(P) = P(a+X)

est linéaire ?

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Pourquoi l'application

v(P) = \\sum_{k=0}^{+\\infty} \\frac{P^{(k)}(a)}{k!} X^k

est-elle bien définie sur

\\mathbb{K}[X]

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Comment prouver l'unicité d'une application linéaire définie par l'image d'une base ?

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Donnez un exemple de forme linéaire sur

\\mathbb{K}^2

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Comment exprimer l'intégrale sur

[a,b]

comme une forme linéaire ?

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Quelle est la particularité d'une forme linéaire non nulle en termes de surjectivité ?

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Comment calculer la coordonnée d'indice

i

d'un vecteur dans une base donnée ?

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Dans

\\mathbb{K}[X]

, quelle forme linéaire a pour noyau l'ensemble des polynômes s'annulant en

\\alpha

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Comment construire un hyperplan à partir d'un vecteur non nul

a

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Dans

\\mathbb{R}^3

, donnez une droite vectorielle supplémentaire à l'hyperplan

x+y+z=0

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Dans

\\mathbb{C}

vu comme

\\mathbb{R}

-espace vectoriel, donnez un supplémentaire à

\\mathbb{R}

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Si deux formes linéaires non nulles ont le même noyau, que peut-on dire d'elles ?

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Comment caractériser géométriquement un hyperplan affine dans

\\mathbb{R}^3

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Donnez une équation d'hyperplan affine dans

\\mathbb{R}^3

et précisez sa direction.

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Comment construire une base de

E^*

à partir d'une base de

E

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Dans

E \\times F

, comment exprimer une base en fonction des bases de E et F ?

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Comment calculer rapidement la dimension de

E^p

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Comment construire un supplémentaire d'un sous-espace F de dimension p dans E ?

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Comment vérifier si deux sous-espaces F et G sont en somme directe sans calculer leur intersection ?

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Dans

\\mathbb{K}_3[X]

, quel est le sous-espace des polynômes s'annulant en 1 ? Donnez sa dimension et une base.

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Dans

\\mathbb{R}^3

, quelle est la dimension de l'intersection de deux plans vectoriels distincts ?

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Comment déterminer si un sous-espace H de E est un hyperplan sans connaître sa dimension ?

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Appliquez la formule de Grassmann pour trouver

\\dim(F \\cap G)

\\dim E = 5

\\dim F = 3

\\dim G = 4

F+G = E

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Dans

\\mathbb{R}^4

, soit

F = \\operatorname{Vect}((1,0,1,0),(0,1,0,1))

G = \\operatorname{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1))

. F et G sont-ils supplémentaires ?

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Dans

\\mathbb{R}^3

, comment trouver une base adaptée à la décomposition

\\mathbb{R}^3 = \\operatorname{Vect}((1,1,0)) \\oplus \\operatorname{Vect}((0,1,1),(1,0,1))

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Soit

u

un endomorphisme d'un espace vectoriel

E

de dimension finie. Si

u

est injectif, que peut-on dire de plus sur

u

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Comment démontrer qu'une application linéaire

u : E \\rightarrow F

entre espaces de même dimension finie est un isomorphisme ?

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Soit

E

un espace vectoriel de dimension

n

. Quelle est la dimension de

\\mathcal{L}(E,E)

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Soit

u \\in \\mathcal{L}(E,F)

avec

\\dim E = \\dim F = n

. Si

\\operatorname{rg}(u) = n-1

, que vaut

\\dim(\\operatorname{Ker}u)

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Soit

u \\in \\mathcal{L}(E,F)

v \\in \\mathcal{L}(F,G)

. Si

u

est un isomorphisme, quelle relation existe entre

\\operatorname{rg}(v)

\\operatorname{rg}(v \\circ u)

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Soit

\\Delta

l'endomorphisme de

\\mathbb{R}_n[X]

défini par

\\Delta(P) = P(X+1) - P(X)

. Quel est le noyau de

\\Delta

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Pour

\\Delta

défini comme précédemment, quelle est l'image de

\\Delta

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Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie et

u \\in \\mathcal{L}(E)

. Si

u

est inversible à gauche, que peut-on conclure sur

u

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Soit

E

F

deux espaces vectoriels de dimensions finies. Comment exprimer

\\dim(\\mathcal{L}(E,F))

en fonction de

\\dim(E)

\\dim(F)

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Soit

u \\in \\mathcal{L}(E,F)

avec

E

de dimension finie. Si

S

est un supplémentaire de

\\operatorname{Ker}u

dans

E

, que peut-on dire de la restriction de

u

S

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