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Qu'est-ce qu'une translation de vecteur aa dans un espace vectoriel EE ?
L'application ta:EtoEt_a : E \\to E définie par xmapstoa+xx \\mapsto a+x
Quelle est la propriété de composition des translations ?
Pour tout a,binEa,b \\in E, tacirctb=ta+b=tbcirctat_a \\circ t_b = t_{a+b} = t_b \\circ t_a
Quelle est l'inverse d'une translation tat_a ?
ta−1=t−at_a^{-1} = t_{-a}
Comment note-t-on l'ensemble a+fmidfinF\\{a+f \\mid f \\in F\\} où FF est un sous-espace vectoriel de EE ?
a+Fa+F
Quand a+Fa+F est-il un sous-espace vectoriel de EE ?
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Qu'est-ce qu'un sous-espace affine de EE ?
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Qu'est-ce que la direction d'un sous-espace affine ?
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Qu'est-ce qu'une droite affine ?
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Un sous-espace vectoriel est-il un sous-espace affine ?
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Que peut-on dire de l'intersection de deux sous-espaces affines ?
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Qu'est-ce qu'une application linéaire ?
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Qu'appelle-t-on un endomorphisme ?
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Qu'est-ce qu'un isomorphisme ?
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Que vaut u(0E)u(0_E) si u est une application linéaire ?
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Comment note-t-on l'ensemble des applications linéaires de E dans F ?
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Quelle est la structure de mathcalL(E,F)\\mathcal{L}(E,F) ?
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Que peut-on dire de la composition de deux applications linéaires ?
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Comment définit-on le noyau d'une application linéaire u ?
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Comment définit-on l'image d'une application linéaire u ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire soit injective ?
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Le noyau et l'image d'une application linéaire sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
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Que peut-on dire de l'inverse d'un isomorphisme ?
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Qu'est-ce que l'anneau mathcalL(E)\\mathcal{L}(E) des endomorphismes ?
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Qu'est-ce que le groupe linéaire mathcalGmathcalL(E)\\mathcal{G}\\mathcal{L}(E) ?
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Qu'est-ce qu'une homothétie de rapport lambda\\lambda ?
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Définissez un projecteur (ou projection)
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Comment caractériser un projecteur pp ?
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Qu'est-ce qu'une symétrie ?
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Comment caractériser une symétrie ss ?
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Quelle est la relation entre un projecteur pp et la symétrie ss associée ?
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Que vaut l'inverse d'une symétrie ss ?
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Donnez la décomposition de EE induite par une symétrie ss
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Qu'est-ce que l'image par u d'une famille de vecteurs (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} ?
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Quelle est l'image par u de Vect((ei)iinI)Vect((e_i)_{i\\in I}) ?
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Que se passe-t-il si u est injective et (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} est libre ?
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Condition pour que u soit surjective avec (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} génératrice de E ?
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Si (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} est une base de E, condition pour que u soit injective ?
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Si (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} est une base de E, condition pour que u soit surjective ?
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Si (ei)iinI\\(e_i\\)_{i\\in I} est une base de E, condition pour que u soit bijective ?
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Que représente varphin\\varphi_n dans l'exemple donné ?
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Quelle est la propriété des polynômes de Lagrange dans l'exemple ?
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Pourquoi varphin\\varphi_n est-elle un isomorphisme dans l'exemple ?
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Comment caractériser une application linéaire à l'aide d'une base ?
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Quel est le théorème fondamental concernant l'existence et l'unicité d'une application linéaire définie par l'image d'une base ?
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Comment prouver que deux applications linéaires u et v sont égales ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire u soit nulle ?
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Comment peut-on définir une application linéaire à l'aide de sous-espaces vectoriels supplémentaires ?
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Quel est le théorème concernant l'existence et l'unicité d'une application linéaire définie sur des sous-espaces supplémentaires ?
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Comment peut-on caractériser un projecteur à l'aide de sous-espaces supplémentaires ?
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Comment caractériser une symétrie à l'aide de sous-espaces supplémentaires ?
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Quelle est la formule de Taylor polynomiale ?
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Comment définir une application linéaire sur un espace vectoriel E ?
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Qu'est-ce qu'une forme linéaire sur un espace vectoriel E ?
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Comment note-t-on l'ensemble des formes linéaires sur E ?
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Quelle est la propriété de surjectivité d'une forme linéaire non nulle ?
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Qu'est-ce qu'une forme linéaire coordonnée dans une base ?
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Que renvoie la forme linéaire coordonnée ei∗e_i^* appliquée à un vecteur x ?
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Qu'est-ce qu'un hyperplan vectoriel ?
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Comment caractériser un hyperplan H en termes de somme directe ?
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Quelle est la relation entre deux formes linéaires de même noyau ?
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Qu'est-ce qu'un hyperplan affine ?
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Dans mathbbK[X]\\mathbb{K}[X], quel est l'hyperplan des polynômes s'annulant en alpha\\alpha ?
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Quelle est la dimension de EtimesFE \\times F si EE et FF sont deux espaces vectoriels de dimension finie ?
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Quelle est la dimension de EpE^p si EE est de dimension finie ?
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Qu'est-ce qu'une base adaptée à une décomposition E=FoplusGE = F \\oplus G ?
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Tout sous-espace vectoriel d'un espace de dimension finie admet-il un supplémentaire ?
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Quelle est la dimension d'une somme directe FoplusGF \\oplus G ?
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Énoncez la formule de Grassmann
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Quelle est la condition pour que dim(F+G)=dimF+dimGdim(F+G) = dim F + dim G ?
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Comment caractériser un hyperplan H dans un espace E de dimension n ?
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Que vaut la dimension de l'intersection de deux plans vectoriels distincts dans un espace de dimension 3 ?
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Quelles sont les conditions équivalentes pour que F et G soient supplémentaires dans E ?
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Qu'est-ce qu'un isomorphisme entre deux espaces vectoriels ?
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Quand deux espaces vectoriels de dimension finie sont-ils isomorphes ?
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Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à quel espace ?
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Qu'est-ce que le rang d'une application linéaire ?
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Quelle est la relation entre le rang et la dimension de l'espace de départ pour une application linéaire de rang fini ?
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Quel est l'énoncé du théorème du rang ?
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Dans un espace de dimension finie, quelles propriétés sont équivalentes pour une application linéaire ?
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Pour un endomorphisme en dimension finie, quelles propriétés sont équivalentes ?
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Quelle est la dimension de L(E,F)L(E,F) pour E et F de dimensions finies ?
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Que dit la proposition sur la composition d'applications linéaires et le rang ?
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Comment démontrer qu'un ensemble est un sous-espace affine sans connaître son point de passage ?
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Comment trouver la direction d'un sous-espace affine défini par (x,y,z)inmathbbR3∣x+y+z=1\\{(x,y,z) \\in \\mathbb{R}^3 | x+y+z=1\\} ?
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Quelle est la dimension d'un sous-espace affine de mathbbR4\\mathbb{R}^4 passant par (1,2,3,4) et dirigé par Vect((1,0,1,0),(0,1,0,1))((1,0,1,0),(0,1,0,1)) ?
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Comment vérifier si deux sous-espaces affines a+Fa+F et b+Gb+G sont égaux ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que l'intersection de deux sous-espaces affines soit non vide ?
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Comment déterminer si un point P(x,y,z)P(x,y,z) appartient au sous-espace affine (1+t,2−t,3t)∣tinmathbbR\\{(1+t, 2-t, 3t) | t \\in \\mathbb{R}\\} ?
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Comment trouver l'équation paramétrique d'une droite affine passant par (1,2,3)(1,2,3) et de vecteur directeur (2,−1,1)(2,-1,1) ?
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Comment déterminer si trois points AA, BB, et CC de mathbbR3\\mathbb{R}^3 sont alignés ?
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Comment trouver un vecteur normal à un plan affine donné par l'équation ax+by+cz=dax+by+cz=d ?
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Comment déterminer si deux droites affines de mathbbR3\\mathbb{R}^3 sont coplanaires ?
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Soit u une application linéaire de E dans F. Comment caractériser l'injectivité de u en termes de noyau ?
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Comment montrer qu'une partie est un sous-espace vectoriel de manière efficace ?
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Soit u ∈ L(E,F) et v ∈ L(F,G). Quelle condition est équivalente à v ∘ u = 0 ?
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Comment caractériser la surjectivité d'une application linéaire u ∈ L(E,F) en termes d'image ?
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Soit φ : K[X] → K[X] définie par φ(P) = XP. Déterminez Ker φ et Im φ.
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Montrez que l'ensemble {(x,y,z) ∈ K³ : x+2y+3z=0 et x+y=0} est un sous-espace vectoriel de K³.
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Soit u : R³ → R² définie par u(x,y,z) = (x-y+z, z). Déterminez Ker u et Im u.
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Pourquoi la dérivation D : C¹(R,R) → C⁰(R,R) n'est-elle pas injective ?
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Soit φ : C²(R,C) → C⁰(R,C) définie par φ(f) = af'' + bf' + cf avec a ≠ 0. Pourquoi φ n'est-elle pas injective ?
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Soit φ_n la restriction à K_(n-1)[X] de l'application P ↦ (P(x_1),...,P(x_n)) où les x_i sont distincts. Pourquoi φ_n est-elle injective ?
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Comment peut-on exprimer une symétrie s en fonction du projecteur p associé ?
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Si p est un projecteur, quelle est la décomposition en somme directe de E associée ?
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Comment décomposer un vecteur x selon la somme directe associée à un projecteur p ?
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Quelle est la relation entre deux projecteurs associés p et q ?
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Comment exprimer la conjugaison complexe en termes de symétrie ?
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Dans R^3, quelle est l'expression de la symétrie par rapport à Vect((1,0,0)) parallèlement à Vect((0,1,0),(0,0,1)) ?
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Comment exprimer la transposition matricielle en termes de symétrie ?
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Si s est une symétrie, quels sont les sous-espaces supplémentaires naturellement associés ?
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Comment définir une projection sur les fonctions paires dans R^R ?
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Comment définir une symétrie par rapport aux fonctions paires dans R^R ?
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Comment déterminer si une application linéaire u est surjective en utilisant l'image d'une famille génératrice de E ?
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Quelle est la relation entre l'injectivité d'une application linéaire u et l'image d'une famille libre ?
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Comment caractériser la bijectivité d'une application linéaire u en termes de l'image d'une base de E ?
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Soit u une application linéaire et (ei) une base de E. Comment vérifier l'injectivité de u ?
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Dans quelles conditions l'image par u d'une famille génératrice de E est-elle génératrice de Im u ?
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Comment l'image par u du sous-espace vectoriel engendré par une famille (ei) est-elle caractérisée ?
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Quelle est la relation entre Vect((ei)) et Vect((u(ei))) pour une application linéaire u ?
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Comment utiliser les polynômes de Lagrange pour montrer que φn : K[X]n-1 → Kn est un isomorphisme ?
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Soit u : E → F linéaire. Si dim E = dim F < ∞, quelle condition sur u implique sa bijectivité ?
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Comment utiliser le corollaire 21 pour prouver rapidement qu'une application linéaire est un isomorphisme ?
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Comment prouver que deux applications linéaires uu et vv sont égales sans connaître leur expression explicite ?
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Comment définir une application linéaire sur un espace vectoriel EE de manière unique ?
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Quelle est la condition suffisante pour qu'une application linéaire uu soit nulle ?
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Comment peut-on définir une application linéaire sur EE sans utiliser une base ?
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Quelle est la caractérisation d'un projecteur pp sur F1F_1 parallèlement à F2F_2 ?
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Comment caractériser une symétrie ss par rapport à F1F_1 parallèlement à F2F_2 ?
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Quelle méthode utiliser pour démontrer la formule de Taylor polynomiale ?
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Comment vérifier si une application u:mathbbK[X]tomathbbK[X]u : \\mathbb{K}[X] \\to \\mathbb{K}[X] définie par u(P)=P(a+X)u(P) = P(a+X) est linéaire ?
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Pourquoi l'application v(P)=sumk=0+inftyfracP(k)(a)k!Xkv(P) = \\sum_{k=0}^{+\\infty} \\frac{P^{(k)}(a)}{k!} X^k est-elle bien définie sur mathbbK[X]\\mathbb{K}[X] ?
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Comment prouver l'unicité d'une application linéaire définie par l'image d'une base ?
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Donnez un exemple de forme linéaire sur mathbbK2\\mathbb{K}^2.
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Comment exprimer l'intégrale sur [a,b][a,b] comme une forme linéaire ?
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Quelle est la particularité d'une forme linéaire non nulle en termes de surjectivité ?
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Comment calculer la coordonnée d'indice ii d'un vecteur dans une base donnée ?
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Dans mathbbK[X]\\mathbb{K}[X], quelle forme linéaire a pour noyau l'ensemble des polynômes s'annulant en alpha\\alpha ?
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Comment construire un hyperplan à partir d'un vecteur non nul aa ?
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Dans mathbbR3\\mathbb{R}^3, donnez une droite vectorielle supplémentaire à l'hyperplan x+y+z=0x+y+z=0.
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Dans mathbbC\\mathbb{C} vu comme mathbbR\\mathbb{R}-espace vectoriel, donnez un supplémentaire à mathbbR\\mathbb{R}.
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Si deux formes linéaires non nulles ont le même noyau, que peut-on dire d'elles ?
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Comment caractériser géométriquement un hyperplan affine dans mathbbR3\\mathbb{R}^3 ?
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Donnez une équation d'hyperplan affine dans mathbbR3\\mathbb{R}^3 et précisez sa direction.
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Comment construire une base de E∗E^* à partir d'une base de EE ?
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Dans EtimesFE \\times F, comment exprimer une base en fonction des bases de E et F ?
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Comment calculer rapidement la dimension de EpE^p ?
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Comment construire un supplémentaire d'un sous-espace F de dimension p dans E ?
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Comment vérifier si deux sous-espaces F et G sont en somme directe sans calculer leur intersection ?
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Dans mathbbK3[X]\\mathbb{K}_3[X], quel est le sous-espace des polynômes s'annulant en 1 ? Donnez sa dimension et une base.
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Dans mathbbR3\\mathbb{R}^3, quelle est la dimension de l'intersection de deux plans vectoriels distincts ?
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Comment déterminer si un sous-espace H de E est un hyperplan sans connaître sa dimension ?
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Appliquez la formule de Grassmann pour trouver dim(FcapG)\\dim(F \\cap G) si dimE=5\\dim E = 5, dimF=3\\dim F = 3, dimG=4\\dim G = 4 et F+G=EF+G = E.
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Dans mathbbR4\\mathbb{R}^4, soit F=operatornameVect((1,0,1,0),(0,1,0,1))F = \\operatorname{Vect}((1,0,1,0),(0,1,0,1)) et G=operatornameVect((1,1,0,0),(0,0,1,1))G = \\operatorname{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1)). F et G sont-ils supplémentaires ?
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Dans mathbbR3\\mathbb{R}^3, comment trouver une base adaptée à la décomposition mathbbR3=operatornameVect((1,1,0))oplusoperatornameVect((0,1,1),(1,0,1))\\mathbb{R}^3 = \\operatorname{Vect}((1,1,0)) \\oplus \\operatorname{Vect}((0,1,1),(1,0,1)) ?
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Soit uu un endomorphisme d'un espace vectoriel EE de dimension finie. Si uu est injectif, que peut-on dire de plus sur uu ?
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Comment démontrer qu'une application linéaire u:ErightarrowFu : E \\rightarrow F entre espaces de même dimension finie est un isomorphisme ?
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Soit EE un espace vectoriel de dimension nn. Quelle est la dimension de mathcalL(E,E)\\mathcal{L}(E,E) ?
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Soit uinmathcalL(E,F)u \\in \\mathcal{L}(E,F) avec dimE=dimF=n\\dim E = \\dim F = n. Si operatornamerg(u)=n−1\\operatorname{rg}(u) = n-1, que vaut dim(operatornameKeru)\\dim(\\operatorname{Ker}u) ?
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Soit uinmathcalL(E,F)u \\in \\mathcal{L}(E,F) et vinmathcalL(F,G)v \\in \\mathcal{L}(F,G). Si uu est un isomorphisme, quelle relation existe entre operatornamerg(v)\\operatorname{rg}(v) et operatornamerg(vcircu)\\operatorname{rg}(v \\circ u) ?
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Soit Delta\\Delta l'endomorphisme de mathbbRn[X]\\mathbb{R}_n[X] défini par Delta(P)=P(X+1)−P(X)\\Delta(P) = P(X+1) - P(X). Quel est le noyau de Delta\\Delta ?
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Pour Delta\\Delta défini comme précédemment, quelle est l'image de Delta\\Delta ?
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Soit EE un espace vectoriel de dimension finie et uinmathcalL(E)u \\in \\mathcal{L}(E). Si uu est inversible à gauche, que peut-on conclure sur uu ?
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Soit EE et FF deux espaces vectoriels de dimensions finies. Comment exprimer dim(mathcalL(E,F))\\dim(\\mathcal{L}(E,F)) en fonction de dim(E)\\dim(E) et dim(F)\\dim(F) ?
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Soit uinmathcalL(E,F)u \\in \\mathcal{L}(E,F) avec EE de dimension finie. Si SS est un supplémentaire de operatornameKeru\\operatorname{Ker}u dans EE, que peut-on dire de la restriction de uu à SS ?
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