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Donner la deˊfinition de ladeˊrivabiliteˊ d’une fonctionf en un point x0 et sur unintervalle I.
f est dite deˊrivable enun point x0 de I s’ilexiste un reˊel ℓ tel que :ℓ=x→alimx−af(x)−f(a)ce qui est eˊquivalent aˋ :ℓ=h⟶0limhf(a+h)−f(a)On dit que f est deˊrivablesur I lorsque f est deˊrivableen tout points de I.
Soient f et g deux fonctionsdeˊfinies sur un intervalle Ide R.Soient λ et μ deux reˊels. Quelle est la deˊriveˊe deλf+μg et fg ?
Les fonctions λf+μget fg sont deˊrivablessur I, et l’on a : (λf+μg)′=λf′+μg′(fg)′=fg′+f′g.
Soient f et g deux fonctionsdeˊrivables sur I.Aˋ quelle condition la fonctiongf est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de gf.
Si la fonction g ne s’annulepas sur I, alors la fonctionf/g est deˊrivable sur I,et l’on a : (gf)′=g2f′g−fg′.
Soient I,J et K trois intervalles.Soient f et g deux fonctionstels que :f:I⟶Jg:J⟶KAˋ quelles conditions la fonctiong∘f est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de (g∘f)′.
Si f est une fonction deˊrivablesur I, et aˋ valeurs dans J etsi g une fonction deˊrivable surJ alors la fonction g∘f estdeˊrivable sur I, et l’on a : (g∘f)′=(g′∘f)×f′.
Soit f une fonction deˊrivableen a.Deˊterminer l’eˊquation reˊduitede la tangente TA aˋ la courbede f au point d’abscisse a.
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Donner la deˊfinition d’unefonction de classe C1.
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Soit f une fonction deˊfiniesur I\{x0}.Aˋ quelle condition f est elleprolongeable par continuiteˊen x0 ?Et donner la forme de g, sonprolongement par continuiteˊ.
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Soit f:I⟶R une fonctiondeˊrivable sur a∈I. Quelle information suppleˊmentairepeut-on alors deˊduire sur f ?
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Meˊthode :Comment reˊsoudre desexercice du type :Deˊterminer l’ensemble dedeˊrivabiliteˊ de la fonctionsuivante : arctan(1+x22x) ?
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Meˊthode :Comment deˊterminer ladeˊriveˊe nieˋme de : h:x↦x2ln(1+x) ?
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Meˊthode : Comment deˊterminer la deˊriveˊede la fonction reˊciproque ?
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Qu'est-ce que le taux d'accroissement d'une fonction f en a ?
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Quelle est la définition d'une fonction dérivable en a ?
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Comment note-t-on le nombre dérivé de f en a ?
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Quelle est la dérivée de la fonction xmapstofrac1x ?
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Quelle est la dérivée de xmapstoxn pour ninmathbbN∗ ?
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Qu'est-ce que la tangente à une courbe en un point ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une somme ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un produit ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une composée ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un quotient ?
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Qu'est-ce qu'une fonction de classe mathcalC1 ?
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Comment définit-on la dérivée seconde d'une fonction ?
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Qu'est-ce qu'une fonction monotone sur un intervalle ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit croissante sur un intervalle ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit constante sur un intervalle ?
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Quelle est la condition suffisante pour qu'une fonction dérivable soit strictement croissante sur un intervalle ?
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Comment déterminer les extrema d'une fonction à partir de son tableau de variations ?
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Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale pour le graphe d'une fonction ?
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Qu'est-ce qu'une asymptote verticale pour le graphe d'une fonction ?
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Quelle est la relation entre les graphes d'une fonction bijective et de sa réciproque ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction réciproque d'une bijection dérivable soit dérivable en un point ?
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Comment calcule-t-on la dérivée de la fonction réciproque en un point ?
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Comment définit-on la limite d'une fonction à valeurs complexes ?
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Quelle est la condition pour qu'une fonction à valeurs complexes soit continue en un point a ?
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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions continues de I dans mathbbC ?
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Quelle est la relation entre la limite de f et celle de barf ?
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Quelles sont les conditions équivalentes pour qu'une fonction complexe ait une limite en a ?
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Comment s'exprime la limite d'une fonction complexe en termes de ses parties réelle et imaginaire ?
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Quelle est la condition pour que 1/f ait une limite en a ?
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Quelles sont les conditions équivalentes pour qu'une fonction complexe soit continue ?
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Comment s'énonce le théorème de composition des limites pour les fonctions complexes ?
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Quelle est l'adaptation du théorème de Weierstrass pour les fonctions complexes ?
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Comment évolue la tangente à la courbe y=f(x) lorsque f′(a) tend vers l'infini ?
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Pour quelle valeur de f′(a) la tangente à la courbe y=f(x) en a est-elle horizontale ?
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Comment s'exprime la vitesse instantanée d'un point en mouvement rectiligne à l'instant a ?
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Quelle est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a ?
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Comment calculer fracpartialfpartialx(a,b) pour f(x,y)=−x2+xy4 ?
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Quelle est la relation entre la dérivée d'une fonction paire et une fonction impaire ?
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Comment évolue la périodicité lors de la dérivation d'une fonction périodique ?
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Comment calculer la dérivée de fn pour ninmathbbZ∗ et f à valeurs strictement positives ?
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Quelle est la dérivée de fracax+bcx+d avec cneq0 ?
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Comment exprimer la dérivée n-ième de f(x)=frac1x pour xinmathbbR∗ ?
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Comment démontrer l'inégalité xcos(x)<sin(x) pour xin]0,fracpi2] ?
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Comment déterminer le nombre de solutions de l'équation frac2sqrtx−frac1x=gamma selon les valeurs de gamma ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que f−1 soit dérivable en b si f est une bijection dérivable d'un intervalle sur un autre ?
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Comment exprimer la dérivée de f−1 en fonction de celle de f ?
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Comment déterminer si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle à partir de sa dérivée ?
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Comment utiliser la parité d'une fonction pour réduire son domaine d'étude ?
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Comment déterminer les asymptotes horizontales du graphe d'une fonction ?
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Comment prouver qu'une fonction dérivable est constante sur un intervalle ?
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Comment exploiter la symétrie entre les graphes de f et f−1 pour étudier les tangentes ?
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Comment déterminer la dérivabilité de la fonction racine cubique sur mathbbR ?
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Comment prouver que la fonction f(x)=eix est continue sur R ?
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Quelle est la limite de ∣f(x)∣ quand xtoa si f(x)toell quand xtoa ?
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Comment montrer que f(x)=rac1x−i est continue sur R ?
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Si f(x)toell quand xtoa, que peut-on dire de la limite de barf(x) ?
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Comment prouver que ∣f(x)∣ est continue si f(x) est continue ?
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Quelle propriété de mathbbC permet d'étendre le théorème des valeurs intermédiaires aux fonctions complexes ?
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Comment adapter la définition de fonction lipschitzienne pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Pourquoi le théorème de Heine reste-t-il valable pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Comment montrer que f(x)=x2+ix est continue sur R ?
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Si f et g sont continues à valeurs complexes, comment prouver que f+g est continue ?
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