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Qu'est-ce qu'un anneau ?

Un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×, où (A,+) est un groupe commutatif, A possède un élément neutre pour ×, et × est associative et distributive par rapport à +.

Comment note-t-on l'élément neutre pour + dans un anneau ?

0 ou

0_A

Comment note-t-on l'élément neutre pour × dans un anneau ?

1 ou

1_A

Quelle est la propriété de 0 dans un anneau ?

0 est absorbant :

forall a in A, 0 × a = a × 0 = 0

Qu'est-ce qu'un anneau intègre ?

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Qu'est-ce qu'un sous-anneau ?

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Qu'est-ce qu'un morphisme d'anneaux ?

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Qu'est-ce qu'un élément inversible (ou unité) dans un anneau ?

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Qu'est-ce qu'un corps ?

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Quelle est la propriété principale d'un corps concernant le produit nul ?

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Qu'est-ce qu'un sous-corps ?

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Donnez la formule du binôme de Newton dans un anneau.

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Quelle est la formule de factorisation de

a^n - b^n

dans un anneau ?

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Dans un anneau

A

, si

ab=0

a \neq 0

, peut-on conclure que

b=0

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Soit

f

un morphisme d'anneaux de

A

dans

B

. Si

a

est inversible dans

A

, que peut-on dire de

f(a)

dans

B

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Dans

\mathbb{R}^2

muni de l'addition et la multiplication produit, trouvez deux éléments non nuls dont le produit est nul.

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Dans l'anneau

\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

, construisez deux matrices non nulles dont le produit est la matrice nulle.

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Soit

A

un anneau commutatif. Montrez que si

a^2 = a

, alors

a(1-a) = 0

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Dans un corps

\mathbb{K}

, si

a+b=0

a \neq 0

, que vaut

b

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Soit

f

un morphisme d'anneaux de

\mathbb{Z}

dans un anneau

A

. Montrez que

f

est entièrement déterminé par

f(1)

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Dans l'anneau

\mathbb{R}[X]

des polynômes à coefficients réels, trouvez deux polynômes non constants dont le produit est constant.

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Soit

A

un anneau commutatif. Si

a^3 = a

pour tout

a \in A

, montrez que

2a = 0

pour tout

a \in A

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Dans un corps

\mathbb{K}

, si

a^2 + b^2 = 0

, que peut-on conclure sur

a

b

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