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Eˊnoncer le theˊoreˋme dela bijection reˊciproque.\Large\text{Énoncer le théorème de} \\ \text{la bijection réciproque.}
Soit f:I⟶R, avec I unintervalle de R.On suppose que f est continueet strictement monotone sur I. Alors f deˊfinit une bijection f~de I sur f(I). De plus, f~−1 est continue,strictement monotone de meˆmemonotonie que f.\large\text{Soit }f : I \longrightarrow \mathbb{R}, \text{ avec }I \text{ un} \\ \text{intervalle de }\mathbb{R}. \\ \text{On suppose que }f \text{ est continue} \\ \text{et strictement monotone sur }I. \\ \ \\ \text{Alors }f \text{ définit une bijection }\tilde{f} \\ \text{de }I \text{ sur }f(I). \\ \ \\ \text{De plus, }\tilde{f}^{-1} \text{ est continue,} \\ \text{strictement monotone de même} \\ \text{monotonie que }f.
Donner le lien entrel’injectiviteˊ et la strictemonotonie.\Large\text{Donner le lien entre} \\ \text{l'injectivité et la stricte} \\ \text{monotonie.}
Soit f:E⟶R une fonction. Si f est strictementmonotone, f est injective. Attention, la reˊciproqueest fausse en geˊneˊral.\Large\text{Soit }f: E \longrightarrow \mathbb{R}\text{ une fonction.} \\ \ \\ \text{Si }f \text{ est strictement} \\ \text{monotone, }f \text{ est injective.} \\ \ \\ \text{Attention, la réciproque} \\ \text{est fausse en général.}
Meˊthode :Soit f:[−32,+∞[⟶R tel que :f(x)=x2+3x−7\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Soit }\large f:[-\frac{3}{2},+\infty[\longrightarrow\mathbb{R}\text{ tel que :}\\ f(x)=x^2+3x-7\\ Comment montrer, sans utiliserle theˊoreˋme des valeursintermeˊdiaires, que l’eˊquationf(x)=π admet une et uneunique solution ?\large\text{Comment montrer, sans utiliser}\\ \text{le théorème des valeurs}\\ \text{intermédiaires, que l'équation}\\ f(x)=\pi\text{ admet une et une}\\ \text{unique solution ?}
f est continue et strictementmonotone sur [−32,+∞[ avecf(−32)<0<π. D’apreˋs le theˊoreˋme de labijection reˊciproque, f induitdonc une bijection, doncl’eˊquation a une et une uniquesolution.\large f \text{ est continue et strictement} \\ \text{monotone sur } [-\frac{3}{2},+\infty[ \text{ avec}\\ f\left(-\frac{3}{2}\right) < 0 < \pi. \\ \ \\ \text{D'après le théorème de la} \\ \text{bijection réciproque, }f \text{ induit} \\ \text{donc une bijection, donc} \\ \text{l'équation a une et une unique} \\ \text{solution.}
Exprimer en termes dequantificateurs le fait que : f:E⟶R est majoreˊe,puis minoreˊe, puis borneˊe,et donner la deˊfinition d’unmajorant et d’un minorant de f.\large\text{Exprimer en termes de} \\ \text{quantificateurs le fait que :} \\ \ \\ f : E \longrightarrow \mathbb{R} \text{ est majorée,} \\ \text{puis minorée, puis bornée,} \\ \text{et donner la définition d'un} \\ \text{majorant et d'un minorant de }f.
- On dit que f est majoreˊe si : ∃M∈R,∀x∈E,f(x)⩽M.Un tel reˊel M est appeleˊ unmajorant de f.\text{- On dit que }f\text{ est majorée si : }\\ \exists M\in\mathbb{R},\forall x\in E,f(x)\leqslant M.\\ \text{Un tel réel } M\text{ est appelé un}\\ \text{majorant de }f.\\ - On dit que f est minoreˊe si : ∃m∈R,∀x∈E,f(x)⩾m.Un tel reˊel m est appeleˊ unminorant de f.\text{- On dit que }f\text{ est minorée si : }\\ \exists m\in\mathbb{R},\forall x\in E,f(x)\geqslant m.\\ \text{Un tel réel }m\text{ est appelé un}\\ \text{minorant de }f.\\ - On dit que f est borneˊe si fest aˋ la fois majoreˊe etminoreˊe, i.e. si :∃K⩾0,∀x∈E,∣f(x)∣⩽K\text{- On dit que }f\text{ est bornée si }f\\ \text{est à la fois majorée et}\\ \text{minorée, i.e. si :}\\ \exists K\geqslant 0,\forall x\in E,|f(x)|\leqslant K.
Soit f:E⟶R et a∈E. Exprimer en termes dequantificateurs le fait quea soit un minimum, puisun maximum de f.\Large\text{Soit }f : E \longrightarrow \mathbb{R} \text{ et }a \in E. \\ \ \\ \text{Exprimer en termes de} \\ \text{quantificateurs le fait que}\\ a \text{ soit un minimum, puis} \\ \text{un maximum de }f.
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i⃗,j⃗). Soit f:E⟶R. Que dire du graphe dex⟼−f(x) et dex⟼f(−x) par rapportaˋ celui de f ?\large\text{On travaille dans un repère} \\ \text{orthonormé }(O, \vec{i}, \vec{j}).\\ \ \\ \text{Soit }f: E \longrightarrow \mathbb{R}. \\ \ \\ \text{Que dire du graphe de} \\ x \longmapsto -f(x) \text{ et de} \\ x \longmapsto f(-x) \text{ par rapport} \\ \text{à celui de }f \text{ ?}
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On travaille dans un repeˋreorthonormeˊ (O,i⃗,j⃗). Soient f:E⟶R, a∈R. Que dire du graphe de x⟼f(x)+a et dex⟼f(x+a) par rapportaˋ celui de f ?\large\text{On travaille dans un repère} \\ \text{orthonormé }(O, \vec{i}, \vec{j}). \\ \ \\ \text{Soient }f: E \longrightarrow \mathbb{R}, ~a \in \mathbb{R}. \\ \ \\ \text{Que dire du graphe de } \\ x \longmapsto f(x)+a \text{ et de} \\ x \longmapsto f(x+a) \text{ par rapport} \\ \text{à celui de }f \text{ ?}
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Soit E un ensemble symeˊtriquepar rapport aˋ 0, i.e. tel que : ∀x∈E,−x∈E. Donner la deˊfinition d’unefonction paire, et d’unefonction impaire sur E.\large\text{Soit }E \text{ un ensemble symétrique} \\ \text{par rapport à }0, \text{ i.e. tel que : } \\ \forall x \in E, -x \in E. \\ \ \\ \text{Donner la définition d'une} \\ \text{fonction paire, et d'une} \\ \text{fonction impaire sur }E.
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Meˊthode :Deˊterminer la pariteˊ (fonctionpaire ou impaire) eˊventuelledes fonctions suivantes : f:x⟼x2−3,g:x⟼−2x3+3x−5h:x⟼x2+3x+6.\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Déterminer la parité (fonction} \\ \text{paire ou impaire) éventuelle} \\ \text{des fonctions suivantes :} \\ \ \\ f : x \longmapsto x^2 -3, \\ g : x \longmapsto -2x^3 + 3x -5 \\ h : x \longmapsto x^2 + 3x +6.
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Meˊthode :Soit T>0.Soit f:E⟶R. Que signifie de dire quef est T-peˊriodique ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Soit }T > 0.\\ \text{Soit }f:E\longrightarrow\mathbb{R}.\\ \ \\ \Large\text{Que signifie de dire que}\\ f\text{ est }T\text{-périodique ?}
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Soit f:E⟶R. Donner la deˊfinitiond’un point fixe de f.\Large\text{Soit }f : E \longrightarrow \mathbb{R}. \\ \ \\ \text{Donner la définition} \\ \text{d'un point fixe de }f.
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Qu'est-ce que le graphe d'une fonction f:XrightarrowmathbbRf: X \\rightarrow \\mathbb{R} ?
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Définition d'une fonction paire
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Définition d'une fonction impaire
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Qu'est-ce qu'une fonction TT-périodique ?
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Définition d'une fonction croissante
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Définition d'une fonction strictement croissante
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Qu'est-ce qu'une fonction monotone ?
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Propriété de la composition de fonctions monotones
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Qu'est-ce qu'une fonction majorée ?
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Qu'est-ce qu'une fonction bornée ?
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Définition du maximum d'une fonction
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Propriété d'une fonction strictement monotone
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Définissez la fonction sinus hyperbolique (sh).
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Définissez la fonction cosinus hyperbolique (ch).
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Quelle est la parité de la fonction sinus hyperbolique ?
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Quelle est la parité de la fonction cosinus hyperbolique ?
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Donnez la dérivée de la fonction sinus hyperbolique.
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Donnez la dérivée de la fonction cosinus hyperbolique.
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Quelle relation fondamentale lie ch et sh ?
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Exprimez exe^x en termes de ch et sh.
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Exprimez e−xe^{-x} en termes de ch et sh.
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Définissez la fonction tangente hyperbolique (th).
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Quel est l'ensemble de définition de la fonction th ?
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Quel est l'ensemble image de la fonction th ?
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Quelle est la parité de la fonction tangente hyperbolique ?
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Donnez la dérivée de la fonction tangente hyperbolique.
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Soit a et b deux réels positifs tels que a ≤ b. Montrez que raca2+b2a+bleqracb2arac{a^2+b^2}{a+b} \\leq rac{b^2}{a}.
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Démontrez que pour tout x réel, ∣x∣=sqrtx2|x| = \\sqrt{x^2}.
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Soit a1,...,ana_1, ..., a_n des réels positifs. Si l'un d'entre eux est strictement positif, que peut-on dire de leur somme ?
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Comment exprimer max(a,b)\\max(a,b) et min(a,b)\\min(a,b) en fonction de a, b et ∣b−a∣|b-a| ?
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Montrez que si A et B sont deux parties majorées de R, alors A ∪ B est majorée.
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Prouvez que toute partie finie non vide de R admet un maximum par récurrence.
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Comment démontrer que ∣xy∣=∣x∣∣y∣|xy| = |x||y| pour tous réels x et y ?
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Donnez une caractérisation d'une partie bornée de R en utilisant la valeur absolue.
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Comment peut-on majorer efficacement une somme de termes positifs ?
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Quelle technique peut-on utiliser pour établir une inégalité complexe ?
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Soit f une fonction paire. Comment se comporte f(-x) par rapport à f(x) ?
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Si f est une fonction T-périodique, que pouvez-vous dire de f(x+T) ?
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Comment le graphe d'une fonction impaire se comporte-t-il par rapport à l'origine ?
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Si f est strictement croissante sur [a,b] et g est strictement décroissante sur f([a,b]), quelle est la monotonie de g○f sur [a,b] ?
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Si f est une fonction bornée sur R, que pouvez-vous dire de ∣f∣|f| ?
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Si f et g sont deux fonctions paires, quelle est la parité de f+g ?
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Comment se comporte le graphe d'une fonction 1-périodique ?
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Si f est strictement croissante sur R et g est strictement croissante sur f(R), que pouvez-vous dire de l'injectivité de g○f ?
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Si f est une fonction T-périodique, que pouvez-vous dire de f(x+kT) où k est un entier ?
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Si f est une fonction bornée sur R et g est une fonction continue sur f(R), que pouvez-vous dire de g○f ?
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Comment se comporte le graphe d'une fonction strictement monotone ?
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Si f est une fonction paire et g est une fonction impaire, quelle est la parité de f○g ?
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Si f est une fonction T-périodique et strictement croissante sur [0,T], que pouvez-vous dire de son comportement global ?
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Calculez sh(2x)sh(2x) en fonction de sh(x)sh(x) et ch(x)ch(x).
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Exprimez ch(2x)ch(2x) en fonction de sh(x)sh(x) et ch(x)ch(x).
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Quelle est la primitive de ch(x)ch(x) ?
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Calculez int01sh(x)dx\\int_0^1 sh(x) dx.
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Trouvez la solution de l'équation différentielle y′′−y=0y'' - y = 0.
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Exprimez th(x)th(x) en fonction de exe^x.
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Calculez la limite de th(x)th(x) quand xx tend vers l'infini.
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Quelle est l'expression de ch−1(x)ch^{-1}(x) pour xgeq1x \\geq 1 ?
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Résolvez l'équation sh(x)=1sh(x) = 1.
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Calculez fracddx(th−1(x))\\frac{d}{dx}(th^{-1}(x)) pour ∣x∣<1|x| < 1.
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Trouvez la valeur de xx telle que ch(x)=2ch(x) = 2.
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Exprimez sh(x+y)sh(x+y) en fonction de sh(x)sh(x), ch(x)ch(x), sh(y)sh(y) et ch(y)ch(y).
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