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Donner la deˊfinition de ladeˊrivabiliteˊ d’une fonctionf en un point x0 et sur unintervalle I.\large\text{Donner la définition de la}\\ \text{dérivabilité d'une fonction}\\ f\text{ en un point }x_0\text{ et sur un}\\ \text{intervalle }I.
f est dite deˊrivable enun point x0 de I s’ilexiste un reˊel ℓ tel que :ℓ=lim⁡x→af(x)−f(a)x−ace qui est eˊquivalent aˋ :ℓ=lim⁡h⟶0f(a+h)−f(a)hOn dit que f est deˊrivablesur I lorsque f est deˊrivableen tout points de I.\large f\text{ est dite dérivable en}\\ \text{un point }x_0\text{ de }I\text{ s'il}\\ \text{existe un réel }\ell\text{ tel que :}\\ \ell=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}\Large\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\large\\ \text{ce qui est équivalent à :}\\ \ell=\lim\limits_{\substack{h \longrightarrow 0}}\Large\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\large\\ \text{On dit que }f\text{ est dérivable}\\ \text{sur }I\text{ lorsque }f\text{ est dérivable}\\ \text{en tout points de }I.
Soient f et g deux fonctionsdeˊfinies sur un intervalle Ide R.Soient λ et μ deux reˊels. Quelle est la deˊriveˊe deλf+μg et fg ?\large\text{Soient }f\text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{définies sur un intervalle }I\\ \text{de }\mathbb{R}.\\ \text{Soient }\lambda\text{ et }\mu\text{ deux réels.}\\ \ \\ \text{Quelle est la dérivée de}\\ \lambda f+\mu g\text{ et }fg\text{ ?}
Les fonctions λf+μget fg sont deˊrivablessur I, et l’on a : (λf+μg)′=λf′+μg′(fg)′=fg′+f′g.\large\text{Les fonctions }\lambda f+\mu g\\ \text{et }fg\text{ sont dérivables}\\ \text{sur }I,\text{ et l'on a :}\\ \ \\ (\lambda f+\mu g)^{\prime}=\lambda f^{\prime}+\mu g^{\prime}\\ (fg)^{\prime}=fg^{\prime}+f^{\prime}g .
Soient f et g deux fonctionsdeˊrivables sur I.Aˋ quelle condition la fonctionfg est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de fg\large \text{Soient }f\text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{dérivables sur }I.\\ \large\text{À quelle condition la fonction}\\ \Large\frac{f}{g}\large\text{ est elle dérivable sur }I\text{ ?}\\ \ \\ \text{Déterminer la forme de }\Large\frac{f}{g}.
Si la fonction g ne s’annulepas sur I, alors la fonctionf/g est deˊrivable sur I,et l’on a : (fg)′=f′g−fg′g2. \large\text{Si la fonction }g\text{ ne s'annule}\\ \text{pas sur }I,\text{ alors la fonction}\\f / g\text{ est dérivable sur }I,\\ \text{et l'on a :}\\ \ \\ \LARGE\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} g-f g^{\prime}}{g^2}\text {. }
Soient I,J et K trois intervalles.Soient f et g deux fonctionstels que :f:I⟶Jg:J⟶KAˋ quelles conditions la fonctiong∘f est elle deˊrivable sur I ? Deˊterminer la forme de (g∘f)′.\large\text{Soient }I, J\text{ et }K\text{ trois intervalles.}\\ \text{Soient }f \text{ et }g\text{ deux fonctions}\\ \text{tels que :}\\f : I \longrightarrow J\\ g:J\longrightarrow K\\ \text{À quelles conditions la fonction}\\g\circ f\text{ est elle dérivable sur }I\text{ ?}\\ \ \\ \text{Déterminer la forme de }(g\circ f)^{\prime}.
Si f est une fonction deˊrivablesur I, et aˋ valeurs dans J etsi g une fonction deˊrivable surJ alors la fonction g∘f estdeˊrivable sur I, et l’on a : (g∘f)′=(g′∘f)×f′.\large\text{Si }f\text{ est une fonction dérivable}\\ \text{sur }I,\text{ et à valeurs dans }J\text{ et}\\ \text{si }g\text{ une fonction dérivable sur}\\ J\text{ alors la fonction }g\circ f\text{ est}\\ \text{dérivable sur }I,\text{ et l'on a :}\\ \ \\ (g\circ f)^{\prime}=\left(g^{\prime}\circ f\right)\times f^{\prime}.
Soit f une fonction deˊrivableen a.Deˊterminer l’eˊquation reˊduitede la tangente TA aˋ la courbede f au point d’abscisse a.\large\text{Soit }f\text{ une fonction dérivable}\\ \text{en }a.\\ \text{Déterminer l'équation réduite}\\ \text{de la tangente }\mathrm{T}_{\mathrm{A}}\text{ à la courbe}\\ \text{de }f\text{ au point d'abscisse }a.
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Donner la deˊfinition d’unefonction de classe C1\large\text{Donner la définition d'une}\\ \text{fonction de classe }\mathcal{C}^1.
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Soit f une fonction deˊfiniesur I\{x0}.Aˋ quelle condition f est elleprolongeable par continuiteˊen x0 ?Et donner la forme de g, sonprolongement par continuiteˊ.\large\text{Soit }f\text{ une fonction définie}\\ \text{sur }I\backslash\left\{x_0\right\}.\\ \text{À quelle condition }f\text{ est elle}\\ \text{prolongeable par continuité}\\ \text{en }x_0\text{ ?}\\ \text{Et donner la forme de }g,\text{ son}\\ \text{prolongement par continuité.}
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Soit f:I⟶R une fonctiondeˊrivable sur a∈I. Quelle information suppleˊmentairepeut-on alors deˊduire sur f ?\large\text{Soit }f : I\longrightarrow\mathbb{R}\text{ une fonction}\\ \text{dérivable sur }a\in I.\\ \ \\ \text{Quelle information supplémentaire}\\ \text{peut-on alors déduire sur }f\text{ ?}
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Meˊthode :Comment reˊsoudre desexercice du type :Deˊterminer l’ensemble dedeˊrivabiliteˊ de la fonctionsuivante : arctan⁡(2x1+x2) ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment résoudre des}\\ \text{exercice du type :}\\ \text{Déterminer l'ensemble de}\\ \text{dérivabilité de la fonction}\\ \text{suivante :}\\ \ \\ \large\arctan(\frac{2x}{1+x^2})\text{ ?}
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Meˊthode :Comment deˊterminer ladeˊriveˊe nieˋme de : h:x↦x2ln⁡(1+x) ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \large\text{Comment déterminer la}\\ \text{dérivée }n^{ième}\text{ de :}\\ \ \\h: x\mapsto x^2\ln (1+x)\text{ ?}
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Meˊthode : Comment deˊterminer la deˊriveˊede la fonction reˊciproque ?\LARGE\text{Méthode :}\\ \ \\ \large\text{Comment déterminer la dérivée}\\ \text{de la fonction réciproque ?}
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Qu'est-ce que le taux d'accroissement d'une fonction ff en aa ?
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Quelle est la définition d'une fonction dérivable en aa ?
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Comment note-t-on le nombre dérivé de ff en aa ?
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Quelle est la dérivée de la fonction xmapstofrac1xx \\mapsto \\frac{1}{x} ?
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Quelle est la dérivée de xmapstoxnx \\mapsto x^n pour ninmathbbN∗n \\in \\mathbb{N}^* ?
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Qu'est-ce que la tangente à une courbe en un point ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une somme ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un produit ?
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Quelle est la formule de dérivation d'une composée ?
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Quelle est la formule de dérivation d'un quotient ?
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Qu'est-ce qu'une fonction de classe mathcalC1\\mathcal{C}^1 ?
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Comment définit-on la dérivée seconde d'une fonction ?
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Qu'est-ce qu'une fonction monotone sur un intervalle ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit croissante sur un intervalle ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction dérivable soit constante sur un intervalle ?
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Quelle est la condition suffisante pour qu'une fonction dérivable soit strictement croissante sur un intervalle ?
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Comment déterminer les extrema d'une fonction à partir de son tableau de variations ?
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Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale pour le graphe d'une fonction ?
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Qu'est-ce qu'une asymptote verticale pour le graphe d'une fonction ?
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Quelle est la relation entre les graphes d'une fonction bijective et de sa réciproque ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction réciproque d'une bijection dérivable soit dérivable en un point ?
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Comment calcule-t-on la dérivée de la fonction réciproque en un point ?
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Comment définit-on la limite d'une fonction à valeurs complexes ?
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Quelle est la condition pour qu'une fonction à valeurs complexes soit continue en un point aa ?
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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions continues de II dans mathbbC\\mathbb{C} ?
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Quelle est la relation entre la limite de ff et celle de barf\\bar{f} ?
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Quelles sont les conditions équivalentes pour qu'une fonction complexe ait une limite en aa ?
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Comment s'exprime la limite d'une fonction complexe en termes de ses parties réelle et imaginaire ?
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Quelle est la condition pour que 1/f1/f ait une limite en aa ?
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Quelles sont les conditions équivalentes pour qu'une fonction complexe soit continue ?
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Comment s'énonce le théorème de composition des limites pour les fonctions complexes ?
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Quelle est l'adaptation du théorème de Weierstrass pour les fonctions complexes ?
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Comment évolue la tangente à la courbe y=f(x)y=f(x) lorsque f′(a)f'(a) tend vers l'infini ?
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Pour quelle valeur de f′(a)f'(a) la tangente à la courbe y=f(x)y=f(x) en aa est-elle horizontale ?
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Comment s'exprime la vitesse instantanée d'un point en mouvement rectiligne à l'instant aa ?
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Quelle est la meilleure approximation affine de ff au voisinage de aa ?
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Comment calculer fracpartialfpartialx(a,b)\\frac{\\partial f}{\\partial x}(a,b) pour f(x,y)=−x2+xy4f(x,y) = -x^2 + xy^4 ?
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Quelle est la relation entre la dérivée d'une fonction paire et une fonction impaire ?
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Comment évolue la périodicité lors de la dérivation d'une fonction périodique ?
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Comment calculer la dérivée de fnf^n pour ninmathbbZ∗n \\in \\mathbb{Z}^* et ff à valeurs strictement positives ?
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Quelle est la dérivée de fracax+bcx+d\\frac{ax+b}{cx+d} avec cneq0c \\neq 0 ?
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Comment exprimer la dérivée n-ième de f(x)=frac1xf(x) = \\frac{1}{x} pour xinmathbbR∗x \\in \\mathbb{R}^* ?
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Comment démontrer l'inégalité xcos(x)<sin(x)x \\cos(x) < \\sin(x) pour xin]0,fracpi2]x \\in ]0,\\frac{\\pi}{2}] ?
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Comment déterminer le nombre de solutions de l'équation frac2sqrtx−frac1x=gamma\\frac{2}{\\sqrt{x}}-\\frac{1}{x}=\\gamma selon les valeurs de gamma\\gamma ?
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Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que f−1f^{-1} soit dérivable en bb si ff est une bijection dérivable d'un intervalle sur un autre ?
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Comment exprimer la dérivée de f−1f^{-1} en fonction de celle de ff ?
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Comment déterminer si une fonction ff est strictement monotone sur un intervalle à partir de sa dérivée ?
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Comment utiliser la parité d'une fonction pour réduire son domaine d'étude ?
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Comment déterminer les asymptotes horizontales du graphe d'une fonction ?
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Comment prouver qu'une fonction dérivable est constante sur un intervalle ?
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Comment exploiter la symétrie entre les graphes de ff et f−1f^{-1} pour étudier les tangentes ?
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Comment déterminer la dérivabilité de la fonction racine cubique sur mathbbR\\mathbb{R} ?
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Comment prouver que la fonction f(x)=eixf(x) = e^{ix} est continue sur R ?
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Quelle est la limite de ∣f(x)∣|f(x)| quand xtoax \\to a si f(x)toellf(x) \\to \\ell quand xtoax \\to a ?
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Comment montrer que f(x)=rac1x−if(x) = rac{1}{x-i} est continue sur R ?
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Si f(x)toellf(x) \\to \\ell quand xtoax \\to a, que peut-on dire de la limite de barf(x)\\bar{f}(x) ?
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Comment prouver que ∣f(x)∣|f(x)| est continue si f(x)f(x) est continue ?
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Quelle propriété de mathbbC\\mathbb{C} permet d'étendre le théorème des valeurs intermédiaires aux fonctions complexes ?
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Comment adapter la définition de fonction lipschitzienne pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Pourquoi le théorème de Heine reste-t-il valable pour les fonctions à valeurs complexes ?
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Comment montrer que f(x)=x2+ixf(x) = x^2 + ix est continue sur R ?
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Si ff et gg sont continues à valeurs complexes, comment prouver que f+gf+g est continue ?
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