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\large\text{Par quelles opérations la} \\ \text{continuité sur un segment} \\ \text{en un point est-elle stable ?}

\large\text{La continuité (sur un segment)} \\ \text{en un point est stable par} \\ \text{combinaison linéaire, produit,} \\ \text{quotient et composition.}

\Large\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{des valeurs intermédiaires ?}

\large\text{Si }f \text{ est une fonction continue} \\ \text{sur un intervalle }I \text{ de }\mathbb{R} \text{ et à} \\ \text{valeurs réelles, alors }f(I)\text{ est} \\ \text{un intervalle de }\mathbb{R}

\large\text{Qu'énonce le corollaire du} \\\text{théorème des valeurs} \\ \text{intermédiaires sur les fonctions} \\ \text{continues strictement monotones} \\ \text{sur un intervalle ?}

\large\text{Soit }f\text{ une fonction continue,} \\ \text{strictement monotone sur} \\ \text{l'intervalle }[a,b].\\ \text{Soit }y \text{ un réel compris entre}\\ f(a)\text{ et }f(b). \\ \text{Il existe un unique point}\\ c \in [a,b] \text{ tel que }f(c) = y

\LARGE\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{de la bijection ?}

\large\text{Toute fonction réelle strictement} \\ \text{monotone, définie et continue sur} \\ \text{un intervalle, admet une fonction} \\ \text{réciproque de même monotonie,} \\ \text{définie et continue sur un} \\ \text{intervalle.}

\Large\text{Qu'énonce le théorème} \\ \text{des bornes atteintes ?}

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\LARGE\text{Méthode :} \\ \large\text{Comment montre-t-on l'existence} \\ \text{d'une solution de l'équation de la} \\ \text{forme }f(x) = 0 \text{ ?}

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\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Comment montre-t-on} \\ \text{qu'une fonction}\\ \ \\f : I \mapsto J\text{ est une bijection ?}

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\LARGE\text{Méthode :} \\ \Large\text{Quelles méthodes peut-on} \\ \text{utiliser pour résoudre une} \\ \text{équation fonctionnelle ?}

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Qu'est-ce que

C(I, R)

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Qu'est-ce qu'une fonction K-lipschitzienne ?

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Énoncez le théorème des valeurs intermédiaires

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Quelle est l'image d'un intervalle par une fonction continue ?

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Énoncez le théorème des bornes atteintes

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Que dit le théorème de la bijection pour une fonction continue strictement monotone ?

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Qu'est-ce qu'une fonction uniformément continue ?

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Quelle est la relation entre fonction lipschitzienne et uniformément continue ?

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Donnez un exemple de fonction continue mais non uniformément continue sur

R_+

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Qu'est-ce que le théorème de Heine ?

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Qu'est-ce qu'une fonction de classe

\\mathcal{C}^1

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Comment note-t-on l'ensemble des fonctions de classe

\\mathcal{C}^1

sur I à valeurs réelles ?

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Qu'est-ce qu'une fonction de classe

\\mathcal{C}^n

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Qu'est-ce qu'une fonction de classe \\mathcal{C}^\\infty ?

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Comment note-t-on la dérivée n-ième d'une fonction f ?

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Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit ?

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Sous quelles conditions la composée de deux fonctions de classe

\\mathcal{C}^n

est-elle de classe

\\mathcal{C}^n

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Sous quelles conditions l'inverse d'une fonction de classe

\\mathcal{C}^n

est-elle de classe

\\mathcal{C}^n

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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction exponentielle ?

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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction sinus ?

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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction

x^p

pour

p \\in \\mathbb{N}

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Quelle est la dérivée n-ième de la fonction

1/x

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Comment démontrer que la fonction

f(x) = x^2 \\sin(1/x)

n'a pas de limite en 0 ?

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Comment prouver que

\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1

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Comment montrer que

\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x^2+1}{2x^2-x+3} = \\frac{1}{2}

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Quelle méthode utiliser pour étudier la limite de

f(x) = x^{\\sin x}

quand

x \\to 0^+

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Comment prouver que

e^x > 1 + x

pour tout

x > 0

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Comment montrer que la fonction

f(x) = \\frac{1}{x}

n'admet pas de prolongement continu en 0 ?

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Quelle technique utiliser pour étudier la continuité de

f(x) = \\sqrt{x} \\sin(\\frac{1}{x})

en 0 ?

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Comment prouver que

\\lim_{x \\to +\\infty} (\\sqrt{x^2+x} - x) = \\frac{1}{2}

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Quelle méthode employer pour étudier la limite de

f(x) = (1+\\frac{1}{x})^x

quand

x \\to +\\infty

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Comment démontrer que

\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1+x)}{x} = 1

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Soit f continue sur [a,b]. Que peut-on dire si f(a)f(b) ≤ 0 ?

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Comment montrer qu'une fonction réelle est bornée sans étudier ses variations ?

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Soit f continue sur R avec des limites finies en ±∞. Que peut-on dire sur f ?

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Soit f continue et strictement monotone sur I. Que peut-on dire de f(I) ?

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Comment montrer qu'une fonction atteint sa borne supérieure ?

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Soit f continue sur [a,b] et strictement positive. Que peut-on dire de f ?

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Quelle condition supplémentaire faut-il à une fonction lipschitzienne pour être continue ?

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Soit f continue sur I. Dans quel cas f est-elle nécessairement constante ?

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Soit f continue sur [a,b]. Peut-on affirmer que f([a,b]) est fermé ?

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Soit f continue sur R. Que peut-on dire si f n'est pas bornée ?

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Comment montrer qu'une équation f(x) = g(x) a une solution ?

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Soit f continue sur [a,b]. Que peut-on dire si f(a) < 0 < f(b) ?

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Soit f lipschitzienne sur I. Que peut-on dire de sa continuité uniforme ?

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Montrez que la fonction

f(x) = x^2 e^x

est de classe

C^{\\infty}

sur

\\mathbb{R}

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Calculez la dérivée n-ième de

f(x) = x^2 e^x

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Montrez que la fonction

f(x) = x^{\\alpha}

est de classe

C^{\\infty}

sur

\\mathbb{R}_{+}^*

pour tout

\\alpha \\in \\mathbb{R}

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Prouvez que la fonction Arctan est de classe

C^{\\infty}

sur

\\mathbb{R}

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Démontrez que la fonction

f(x) = \\sqrt[3]{x}

est de classe

C^{\\infty}

sur

\\mathbb{R}^*

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Prouvez que la fonction

f(x) = \\exp(-1/x)

x > 0

f(0) = 0

est de classe

C^{\\infty}

sur

\\mathbb{R}_+

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Soit

f

de classe

C^n

sur

[a,b]

. Que peut-on dire de

f'

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Comment caractériser une fonction

M

-lipschitzienne de classe

C^1

sur

[a,b]

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Montrez que la fonction

f(x) = x^{\\alpha}

est de classe

C^1

sur

\\mathbb{R}_+

si et seulement si

\\alpha \\geq 1

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Donnez une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction

f

de classe

C^1

sur

I

soit bijective de

I

sur

J

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