Somme et intersections

Dans cette vidéo, nous allons analyser différentes propriétés sur une famille de vecteurs, en utilisant un petit QCM. La première question consiste à déterminer si l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs U1, U2 et U3 est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs. Pour répondre à cette question, nous devons d'abord comprendre que si la proposition est vraie, cela signifie que la famille de vecteurs est liée, ce qui implique que seul deux des vecteurs sont linéairement indépendants. Ensuite, nous devons analyser si le vecteur donné appartient à l'intersection de l'ensemble formé par les vecteurs U1 et U2 et l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. Enfin, la troisième question vise à déterminer si la combinaison des ensembles Vect(U1, U2) et Vect(U2, U3, U4) peut générer tous les éléments de R4. Il est important de remarquer que la présence du symbole "+" sans le symbole "⊕" suggère qu'il peut y avoir des redondances entre les deux ensembles. Dans cette analyse, nous utilisons les propriétés des combinaisons linéaires et faisons quelques manipulations avec les vecteurs afin de répondre aux questions posées. Il est recommandé d'acquérir de la pratique pour maîtriser ces manipulations de manière efficace. Pour la première question, nous pouvons remplacer U1 par U1 + U2 ou U1 - U2 pour obtenir un résultat plus clair. Pour la deuxième question, nous vérifions si le vecteur donné est une combinaison linéaire de U1 et U2. Pour la troisième question, nous utilisons un argument de dimension pour déterminer si la somme des deux ensembles génère tout l'espace R4. En utilisant ce raisonnement, nous concluons que la proposition est fausse car la dimension de la somme des ensembles n'est pas égale à la dimension de R4.