Espaces supplémentaires (1)

Dans ce cours, nous abordons une question d'algèbre linéaire concernant deux droites vectorielles dans R3. La question est de savoir si ces deux droites sont supplémentaires. En d'autres termes, peut-on trouver deux ensembles, f et g, tels que tout vecteur de R3 puisse être décomposé de manière unique en un élément de f plus un élément de g. La dimension joue un rôle crucial dans la définition de supplémentaire. Dans le cas de deux droites vectorielles distinctes dans R3, qui ont chacune une dimension de 1, la somme des deux dimensions est égale à 2, ce qui est inférieur à la dimension de R3 qui est 3. Par conséquent, il n'est pas possible d'avoir des droites supplémentaires dans R3. En revanche, deux plans vectoriels distincts dans R3 ont chacun une dimension de 2, ce qui donne une somme des dimensions égale à 4, ce qui est supérieur à 3. Par conséquent, ces deux plans ne peuvent pas être supplémentaires l'un de l'autre. Pour qu'un plan vectoriel et une droite vectorielle dans R3 soient supplémentaires, la droite ne doit pas appartenir au plan. Dans le cas contraire, la dimension de l'espace reste à 2 au lieu de 3. En résumé, ces exemples illustrent différentes manières de découper l'espace et l'importance de la dimension dans la notion de supplémentarité.