Espaces supplémentaires (2)

Dans cet exercice, nous examinons quelques familles de vecteurs pour déterminer si elles sont supplémentaires dans R4. Nous avons 5 vecteurs : V1, V2, V3, V4 et V5. Pour former une base de R4, nous devons avoir au maximum 4 vecteurs. Nous commençons par vérifier si les vecteurs V1 et V2 sont supplémentaires. Pour cela, nous utilisons l'argument de dimension et constatons que la dimension de ces deux vecteurs combinés est de 3, ce qui ne correspond pas à une dimension de 4. Donc, ils ne sont pas supplémentaires. Ensuite, nous examinons les vecteurs V1 et V3. Si la famille V1, V2, V3, V4, V5 est libre, alors nous aurons des vecteurs supplémentaires. Nous résolvons un système pour vérifier si ces vecteurs sont linéairement indépendants et constatons qu'ils le sont, ce qui signifie qu'ils forment une base de R4. Donc, ils sont supplémentaires. Nous poursuivons ensuite avec les vecteurs V1, V3, V4 et V2, V5. Mais puisque V5 est égal à V3 + V4, l'intersection de ces deux ensembles n'est pas réduite à zéro, ce qui signifie qu'ils ne sont pas supplémentaires. Finalement, nous concluons que les vecteurs V1, V2, V4, V5 et V3, V4 ne sont pas supplémentaires.