Théorème de comparaison - Illustration

Le théorème de comparaison en analyse mathématique est un outil puissant qui permet de simplifier les démonstrations en se basant sur des suites comparables. En effet, si on a une suite Vn qu'on ne sait pas traiter directement, mais qu'on peut comparer à une suite plus simple Un qui tend vers l'infini, alors on peut en déduire que Vn suit le même comportement. Par exemple, si on peut montrer que Vn est toujours plus grand que Un, et que Un tend vers l'infini, alors Vn aussi. Cela permet d'éviter des calculs compliqués avec des epsilon et d'autres paramètres peu attrayants. On peut ainsi conclure que Vn suit la même tendance que Un sans avoir à étudier en détail la forme particulière de Vn. Ce théorème est particulièrement utile lorsque la suite Vn a une forme difficile à manipuler, comme dans l'exemple donné, où Vn est égal à l'exponentielle de la racine de n² plus 1. Pour illustrer le théorème de comparaison, on prend l'exemple de racine de n² plus 1, qui est plus grand que racine de n² (n étant un entier). En utilisant l'exponentielle et en montrant que l'exponentielle de racine de n² plus 1 est plus grand que l'exponentielle de n, on peut conclure que Vn suit une croissance exponentielle et tend vers l'infini, car l'exponentielle de n est une suite géométrique de raison supérieure à 1. Ce théorème permet donc d'éviter des calculs complexes et de simplifier les démonstrations en se basant sur des comparaisons entre suites simples et suites plus complexes. Son utilité réside dans le fait qu'il permet d'aboutir à une conclusion sans avoir à étudier en détail la forme de la suite complexe.